Тема занятия: Основные задачи и понятия математической статистики

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 140

 

Дисциплина Математика

Курс          1                     

 

Тема занятия: Основные задачи и понятия математической статистики

Тип урока: Урок изучения нового материала

Вид занятия: Лекционно-практическое занятие

 

Цели:

– обучающая: введение понятия комбинаторики; знакомство с основными правилами комбинаторики; развитие логического мышления

– развивающая: развитие усидчивости, самостоятельности

– воспитательная: воспитание самостоятельности, умения работать в группах

 

Задачи:

- должен знать: понятие комбинаторики, правило произведения, правило суммы, размещения, перестановки, сочетания

- должен уметь: применять знания к решению практических задач

 

Формируемые компетенции:

– общие: ОК 1-9

– профессиональные: ПК 1.1. – 4.3.

 

Обеспечение занятия: учебники

Внутридисциплинарные связи: Данная тема является центральной при изучении раздела: «Элементы теории вероятности и математической статистики», поэтому связана с такими темами как: «Подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний», «Формула бинома Ньютона», «Свойства биномиальных коэффициентов», «Треугольник Паскаля», «Определение вероятности и операции над ними», «Основные теоремы и формулы теории вероятности», «Понятие о зависимости событий», «Дискретная случайная величина, закон ее распределения», «Понятие о законе больших чисел», «Основные задачи и понятия математической статистики», «Представление данных, генеральная совокупность. Выборка, среднее арифметическое, мода, медиана»

 

Междисциплинарные связи: Эта тема является важной при изучении отдельных тем в геометрии, теории чисел, математического анализа

Ход занятия

I.1. Организация занятия (3 мин.).

I.2. Сообщение темы и целей занятия. (3 мин.)

I.3. Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (5 мин.)

I.4. Сообщение и усвоение новых знаний. (25 мин.)

Предмет математической статистики Основные понятия

Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования. Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения случайной величины;

- оценка неизвестной функции распределения случайной величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.д.

Случайную величину  будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности  являются статистические данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от  и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор  независимых в совокупности случайных величин , где  соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число  называется объёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности  устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

Предварительная обработка выборки

Прежде, чем перейти к детальному анализу статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда её результаты уже сами по себе дают ответы на многие вопросы, но в большинстве случаев они являются исходным материалом для дальнейшего анализа.

Вариационный ряд

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка  объёма  из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки  называют размахом выборки.

Статистический ряд

Пусть выборка  содержит  различных чисел , где  и , причём число  встречается в выборке  раз, . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность  - дискретная случайная величина, либо когда  - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число  называют частотой элемента выборки , а отношение  - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки  называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки  (напомним: ), во второй строке – частоты , а в третьей строке – относительные частоты  этих значений:

                                                                                                                        Таблица

Значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Другой способ группировки, который используют обычно при больших объёмах выборки ( ) состоит в следующем. Отрезок , содержащий выборку , разбивают на  промежутков , как правило, одинаковой длины . Далее, подсчитывают частоты  попадания выборочных значений  в промежутки  и относительные частоты . Получающийся в результате этого статистический ряд

                                                                                                                        Таблица

Промежутки			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

 

называют интервальным статистическим рядом.

Рефлексия (5 мин.).

1. На уроке понравилось….

2. На уроке не понравилось….

3. Было сложно решать…

4. Эта тема помогла мне узнать….

I.5.   Задание для внеаудиторной самостоятельной работы (т. е. домашнее задание).

ОК, решение упражнений по теме: «Понятие о законе больших чисел»

 

 

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 140

 

Дисциплина Математика

Курс          1                     

 

Тема занятия: Основные задачи и понятия математической статистики

Тип урока: Урок изучения нового материала

Вид занятия: Лекционно-практическое занятие

 

Цели:

– обучающая: введение понятия комбинаторики; знакомство с основными правилами комбинаторики; развитие логического мышления

– развивающая: развитие усидчивости, самостоятельности

– воспитательная: воспитание самостоятельности, умения работать в группах

 

Задачи:

- должен знать: понятие комбинаторики, правило произведения, правило суммы, размещения, перестановки, сочетания

- должен уметь: применять знания к решению практических задач

 

Формируемые компетенции:

– общие: ОК 1-9

– профессиональные: ПК 1.1. – 4.3.

 

Обеспечение занятия: учебники

Внутридисциплинарные связи: Данная тема является центральной при изучении раздела: «Элементы теории вероятности и математической статистики», поэтому связана с такими темами как: «Подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний», «Формула бинома Ньютона», «Свойства биномиальных коэффициентов», «Треугольник Паскаля», «Определение вероятности и операции над ними», «Основные теоремы и формулы теории вероятности», «Понятие о зависимости событий», «Дискретная случайная величина, закон ее распределения», «Понятие о законе больших чисел», «Основные задачи и понятия математической статистики», «Представление данных, генеральная совокупность. Выборка, среднее арифметическое, мода, медиана»

 

Междисциплинарные связи: Эта тема является важной при изучении отдельных тем в геометрии, теории чисел, математического анализа

Ход занятия

I.1. Организация занятия (3 мин.).

I.2. Сообщение темы и целей занятия. (3 мин.)

I.3. Актуализация опорных знаний как переход к освоению новых знаний. (5 мин.)

I.4. Сообщение и усвоение новых знаний. (25 мин.)

Предмет математической статистики Основные понятия

Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования. Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения случайной величины;

- оценка неизвестной функции распределения случайной величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.д.

Случайную величину  будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности  являются статистические данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от  и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор  независимых в совокупности случайных величин , где  соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число  называется объёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности  устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

Предварительная обработка выборки

Прежде, чем перейти к детальному анализу статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда её результаты уже сами по себе дают ответы на многие вопросы, но в большинстве случаев они являются исходным материалом для дальнейшего анализа.

Вариационный ряд

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка  объёма  из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки  называют размахом выборки.

Статистический ряд

Пусть выборка  содержит  различных чисел , где  и , причём число  встречается в выборке  раз, . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность  - дискретная случайная величина, либо когда  - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число  называют частотой элемента выборки , а отношение  - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки  называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки  (напомним: ), во второй строке – частоты , а в третьей строке – относительные частоты  этих значений:

                                                                                                                        Таблица

Значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Другой способ группировки, который используют обычно при больших объёмах выборки ( ) состоит в следующем. Отрезок , содержащий выборку , разбивают на  промежутков , как правило, одинаковой длины . Далее, подсчитывают частоты  попадания выборочных значений  в промежутки  и относительные частоты . Получающийся в результате этого статистический ряд

                                                                                                                        Таблица

Промежутки			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

 

называют интервальным статистическим рядом.