Теорема Гаусса и постулат Максвелла в дифференциальной форме.

 

Применим указанные законы для весьма малой поверхности S ₀, ограничивающей объем D V с зарядом D q:

;          .

Для получения соотношений, связывающих заряды с векторами напряженности и смещения в некоторой точке внутри поверхности, необходимо перейти к пределу, устремив поверхность S ₀ и объем D V к нулю, оставаясь в окрестности этой точки.

Рассмотрим предел отношения обеих частей уравнений к объему D V, при D V стремящемся к нулю:

;           .

Предел отношения потока некоторого вектора сквозь поверхность S ₀ к объему D V, ограниченному этой поверхностью при D V, стремящемся к нулю, называется расхождением или дивергенцией данного вектора в точке, в которую стягивается объем D V. Предел отношения заряда, находящегося в данном объеме, к величине D V, когда этот объем стремится к нулю, равен объемной плотности заряда в той же точке. Учитывая сказанное, запишем теорему Гаусса и постулат Максвелла в дифференциальной форме:

;             .

Термин «расхождение» легко понять, если вспомнить, что силовые линии векторов напряженности и смещения начинаются и заканчиваются на зарядах. В тех точках поля, где r = 0,
 и  – расхождение линий из этих точек отсутствует. Линии из этих точек не расходятся и не сходятся к ним, а могут лишь проходить через эти точки.

Указанные соотношения в дифференциальной форме связывают характеристики электрического поля в любой точке. Они записаны в инвариантной форме и могут быть использованы в любой системе координат.

Рассмотрим запись дивергенции вектора в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся векторным дифференциальным оператором «набла» (), который записывается в виде суммы трех ортогональных составляющих:

Так как дивергенция вектора является скалярной величиной, то ее можно представить в виде скалярного произведения оператора «набла» на соответствующий вектор, в результате такого умножения получаем сумму производных коллинеарных составляющих векторов:

.

Запись дивергенции в других системах координат приводится в математических справочниках.

Запишем по аналогии принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме:

Расхождение линий индукции в любой точке магнитного поля равно нулю, т.е. эти линии являются замкнутыми кривыми. Если будет открыт предсказанный теоретически Дираком магнитный заряд (монополь Дирака), то последнее уравнение изменится и в тех точках, где будет существовать магнитный заряд, в правой части уравнения вместо нуля появится плотность магнитного заряда, и это уравнение уже не будет называться принципом непрерывности.