Выписка из лицевого счета Маши.

ВАРИАНТ 6

Задание 1 № 26637

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Решение.

Разделим 500 на 30:

Ване хватает денег на 16 тюльпанов, но цветов должно быть нечетное число. Следовательно, Ваня может купить букет из 15 тюльпанов.

Ответ: 15.

Задание 2 № 501738

На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму выбросов занимал Пакистан, десятое место — Нигерия. Какое место среди представленных стран занимала Чехия?

Решение.

Расположим страны в порядке убывания количества выбросов углекислого газа в год:

1) Пакистан

2) ОАЭ

3) Вьетнам

4) Узбекистан

5) Чехия

6) Алжир

7) Бельгия

8) Ирак

9) Греция

10) Нигерия

Чехия находится на пятом месте

Ответ: 5.

Задание 3 № 245007

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольника состоит из площадей двух треугольников и площади трапеции. Поэтому

 см².

Ответ:4,5 см².

Задание 4 № 320189

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение.

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

Задание 5 № 26661

Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ: 35.

Задание 6 № 27828

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60°.

Решение.

Тупой угол ромба равен 180°−60°=120°. Воспользуемся теоремой косинусов:

Ответ: 3.

Задание 7 № 27500

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [ a; b ].

Производная функции отрицательна, на интервалах (−1; 5) и (7; 11). Значит, функция убывает на отрезках [−1; 5] длиной 6 и [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Ответ: 6.

Задание 8 № 245345

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Решение.

Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

Ответ: 8.

Задание 9 № 26776

Найдите , если  и

Решение.

Поскольку угол альфа лежит в третьей четверти, его тангенс положителен. Поэтому

Тогда

Ответ: 5.

Задание 10 № 319859

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-5

Ответ:35.

Задание 11 № 99588

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Решение.

Пусть t ч – время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 65 t км, а второй – 75 t км. Тогда имеем:

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4.

Задание 12 № 77468

Найдите точку минимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

Ответ: −1.

Задание 13 (С1) № 507595

а) Решите уравнение .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

  Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку :   

Ответ: а) б)

Задание 14 (С2) № 513684

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ точка K делит боковое ребро AA ₁ в отношении AK: KA ₁ = 1: 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD ₁ в точке M.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD ₁ в отношении DM: MD ₁ = 2: 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA ₁ = 6.

  Решение.

Пусть четырёхугольник KBNM — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок). Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно, KN || AC и, значит, AKNC — прямоугольник.

 Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом, .

C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDM и, следовательно,  откуда и следует доказываемое утверждение.

б) Так как и , то Но KN || AC, значит, и . Следовательно, , поскольку и площадь сечения S равна . Имеем:

Ответ: б)

Задание 15 (С3) № 484584

Решите неравенство .

Решение.

Разделим обе части неравенства на .

Решение будем искать при условиях

При этих условиях получаем неравенство:

Таким образом, множество решений исходного неравенства:

Ответ:

Задание 16 (С4) № 512338

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠ LKN = 75° и LM = 1.

Решение.

а) KOH равнобедренный, и трапеция KLMN равнобедренная, поэтому ∠ KHO = ∠ OKH = ∠ MNK. Значит, прямые OH и MN параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, NQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны MN в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHL имеем

Поэтому

Пусть KH = x. Поскольку трапеция KLMN равнобедренная, KN = 2 KH + + LM, NH = KH + LM = x + 1.

Тогда

Откуда x = 1. Значит, KN = 2 x + 1 = 3.

Ответ: б) 3.

Задание 17 (С5) № 511255

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

  Решение.

Пусть для определённости Миша и Маша 15.01.12 положили в банк x рублей. Подготовим выписки из лицевых счетов Маши и Миши.

Задание 18 (С6) № 513610

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую у = 2 и гиперболу  (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой у = 2 и гиперболы  с прямой при условии .

Прямая пересекает прямую у = 2 при и при ; пересекает правую ветвь гиперболы при  пересекает левую ветвь гиперболы при  проходит через точку пересечения прямой у = 2 и гиперболы при  

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень , который удовлетворяет системе при  Второе уравнение имеет два различных корня  только при a > 0, причем, x ₂ является корнем системы при любом положительном a, а x ₃ при  Таким образом, система будет иметь два различных решения при . Кроме того, положительные корни x ₁ и x ₂ могут совпасть  Это происходит при a = 1.

Ответ: ;

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Задание 19 (С7) № 525144

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Решение.

Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил задач, а Петя за m дней решил задач.

а) Проверим, могли ли мальчики решить 85 задач.

Для Васи:

Очевидно, что это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Для Пети: Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Значит, в сборнике могло быть 85 задач.

б) Проверим, могло ли в сборнике быть 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней.

Для Пети: Тогда m — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию  Тогда или , или  При любом из этих значений получаем  Значит, в сборнике не могло быть 213 задач.

в) Если в сборнике меньше 300 задач, то для числа дней, потраченных Петей, имеем: Следовательно,

При получаем тогда  Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач:  Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.

Рассмотрим . Имеем  Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.

Рассмотрим . Имеем  Левая часть уравнения кратна 15 при , но тогда . Значит, m не может равняться 15.

Рассмотрим  Имеем  Это уравнение имеет решение  

При этом

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

ВАРИАНТ 6

Задание 1 № 26637

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Решение.

Разделим 500 на 30:

Ване хватает денег на 16 тюльпанов, но цветов должно быть нечетное число. Следовательно, Ваня может купить букет из 15 тюльпанов.

Ответ: 15.

Задание 2 № 501738

На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10 странах мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое место по объёму выбросов занимал Пакистан, десятое место — Нигерия. Какое место среди представленных стран занимала Чехия?

Решение.

Расположим страны в порядке убывания количества выбросов углекислого газа в год:

1) Пакистан

2) ОАЭ

3) Вьетнам

4) Узбекистан

5) Чехия

6) Алжир

7) Бельгия

8) Ирак

9) Греция

10) Нигерия

Чехия находится на пятом месте

Ответ: 5.

Задание 3 № 245007

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольника состоит из площадей двух треугольников и площади трапеции. Поэтому

 см².

Ответ:4,5 см².

Задание 4 № 320189

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение.

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

Задание 5 № 26661

Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ: 35.

Задание 6 № 27828

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60°.

Решение.

Тупой угол ромба равен 180°−60°=120°. Воспользуемся теоремой косинусов:

Ответ: 3.

Задание 7 № 27500

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [ a; b ].

Производная функции отрицательна, на интервалах (−1; 5) и (7; 11). Значит, функция убывает на отрезках [−1; 5] длиной 6 и [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Ответ: 6.

Задание 8 № 245345

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Решение.

Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

Ответ: 8.

Задание 9 № 26776

Найдите , если  и

Решение.

Поскольку угол альфа лежит в третьей четверти, его тангенс положителен. Поэтому

Тогда

Ответ: 5.

Задание 10 № 319859

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-5

Ответ:35.

Задание 11 № 99588

Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

Решение.

Пусть t ч – время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 65 t км, а второй – 75 t км. Тогда имеем:

Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ: 4.

Задание 12 № 77468

Найдите точку минимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

Ответ: −1.

Задание 13 (С1) № 507595

а) Решите уравнение .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

  Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку :   

Ответ: а) б)

Задание 14 (С2) № 513684

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ точка K делит боковое ребро AA ₁ в отношении AK: KA ₁ = 1: 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD ₁ в точке M.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD ₁ в отношении DM: MD ₁ = 2: 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA ₁ = 6.

  Решение.

Пусть четырёхугольник KBNM — сечение данной призмы плоскостью α (см. рисунок). Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно, KN || AC и, значит, AKNC — прямоугольник.

 Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом, .

C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника BDM и, следовательно,  откуда и следует доказываемое утверждение.

б) Так как и , то Но KN || AC, значит, и . Следовательно, , поскольку и площадь сечения S равна . Имеем:

Ответ: б)

Задание 15 (С3) № 484584

Решите неравенство .

Решение.

Разделим обе части неравенства на .

Решение будем искать при условиях

При этих условиях получаем неравенство:

Таким образом, множество решений исходного неравенства:

Ответ:

Задание 16 (С4) № 512338

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Найдите KN, если ∠ LKN = 75° и LM = 1.

Решение.

а) KOH равнобедренный, и трапеция KLMN равнобедренная, поэтому ∠ KHO = ∠ OKH = ∠ MNK. Значит, прямые OH и MN параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, NQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны MN в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHL имеем

Поэтому

Пусть KH = x. Поскольку трапеция KLMN равнобедренная, KN = 2 KH + + LM, NH = KH + LM = x + 1.

Тогда

Откуда x = 1. Значит, KN = 2 x + 1 = 3.

Ответ: б) 3.

Задание 17 (С5) № 511255

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

  Решение.

Пусть для определённости Миша и Маша 15.01.12 положили в банк x рублей. Подготовим выписки из лицевых счетов Маши и Миши.

Выписка из лицевого счета Маши.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры