Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в табл. 1.2.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи ис- пользуется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преиму- ществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппа- рата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

Таблица 1.2

 

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	00000	0	0
1	00001	1	1
2	00010	2	2
3	00011	3	3
4	00100	4	4
5	00101	5	5
6	00110	6	6
7	00111	7	7
8	01000	10	8
9	01001	11	9
10	01010	12	А
11	01011	13	В
12	01100	14	С
13	01101	15	D
14	01110	16	Е
15	01111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14

 

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», на- пример при составлении программы на машинном языке, то используют восьмерич- ную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисле- ния и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами зада- ются таблицей сложения, вычитания и умножения (табл. 1.3).

Таблица 1.3

 

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 × 0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 × 1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 × 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 × 1 = 1

 

Единица – перенос в старший разряд

 

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд.

Пример. Выполнить операцию арифметического сложения в двоичной системе счисления чисел 13 и 7.

13₁₀  = 1101₂            7₁₀ = 0111₂

Решение:

+  13

+ 01101

7                             00111

20 ₁₀                          10100 ₂

При сложении двух единиц результат операции равен нулю и единица перено- сится в соседний разряд.

4 3 2 1 0

1 0 1 0 0 ₂ = 1 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ = 20 ₁₀.

Пример. Выполнить операцию арифметического вычитания в двоичной систе- ме счисления чисел 12 и 7.

 

Решение:

– 12

1 11

– 1 1 0 0

  7                                0 1 1 1

5 ₁₀                            0 1 0 1 ₂

При вычитании из нулевого разряда в данном разряде образуются две единицы, а в соседних нулевых разрядах возникает единица.

3 2 1 0

0 1 0 1 ₂ = 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰ = 5 ₁₀.

Таблицы сложения для восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены на рис. 1.1 и 1.2.

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Рис. 1.1. Таблица сложения для восьмеричной систем счисления

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
А	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
В	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
С	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1B
D	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С
Е	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С	1D	1E

Рис. 1.2. Таблица сложения для шестнадцатеричной системы счисления

 

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает из- быток, то он переносится влево.