Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математическая обработка результатов
ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено n аналогичных измерений, результаты которых равны х1, х2,..., хn. Каждый из результатов хi, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называю результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений х1, х2,..., хn. Разность Di = хi - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности сделаем следующие допущения: - погрешность Di является случайной величиной с нормальным законом распределения; - математическое ожидание погрешности М = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность; - погрешность Di имеет дисперсию s2, одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные; - погрешности отдельных наблюдений независимы. Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному. Тогда плотность распределения любого результата хi запишется в виде f = (хi, a) = e - (xi - a)^2 / 2 s^2 / Ö 2 p s. Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин х1, х2,..., хn n f (х1, х2,..., хn, а) = Õ f (хi, a). i = 1 Плотность распределения системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим n é n ù L = (х1, х2,..., хn, а) = Õ f (хi, a) = (2p) -n/2 s-n exp ê- (1/ 2s2) å (хi - a)2 ê. (2.6) i = 1 ë i = 1 û Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку а таким образом, чтобы при а = а достигалось L (х1, х2,..., хn, а) = max. (2.7) Из (2.6) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы n å (хi - a)2 = min. (2.8) i = 1 Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим тогда оценку а найдем из условия
n å (хi - a)2 =
i = 1 ^ n ¶Q/¶ а = - 2 å (хi - a) = 0. (2.9) i = 1 Отсюда получим n а = (1/ n) å хi = х, (2.10) i = 1
т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений. Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем М = а, s2 = s2 / n. (2.11) Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в Ö n раз. Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений n s2 = (s2 / n), i j где rij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений. Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной. Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (2), представив ее в виде n é n ù L = (х1, х2,..., хn, а,s2) = Õ f (хi, a) = (2p)-n/2 (s2)-n/2 exp ê- (1/ 2s2) å (хi - a)2 ê. (2.12) i = 1 ë i = 1 û На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия L (х1, х2,..., хn, а, s2) = max. (2.13) Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12) n i = 1 Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции (7) и (9) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия ¶ ln L (х1, х2,..., хn, а, s2) /¶ s2 = 0. (2.15) Продифференцировав (2.15) по s2, получим - (1 / n) (1 / s2) + (1/ 2s4) å (хi - a)2 = 0. (2.16.) i = 1 n s2 = (1 / n) å (хi - a)2. (2.17) i = 1 Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2: n S2 = (1 / n) å (хi - х)2. (2.18) i = 1 Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2. Предварительно преобразуем (2.18):
n n n S2 = (1 / n) å (хi2 - 2 х (1 / n) å хi + (х)2 = (1 / n) å хi2 - (х)2. (2.19) i = 1 i = 1 i = 1 é n ù n М = М ê(1 / n) å хi2 ê - М = (1 / n) å М - М = ë i = 1 û i = 1 = (1 / n) å (s2 + а2) - (s / n + а2) = s2 (1 - 1 / n) = s2. (2.20) i = 1 lim М = s2. n®¥ Такая оценка называется асимптотически несмещенной. Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /(n - 1). Полученную несмещенную оценку обозначим s2: ^ n s2 = n /(n - 1) S2 = n /(n - 1) å (хi - х)2. (2.20) i = 1 Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений: ë i = 1 û Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов. Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины. Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины
tn -1 = (х - а) / S Ö n - 1 = (х - а) / s Ö n. (2.22) Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия ¥ ò f n - 1 (t) dt = a, (2.23) ta Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины: х - ta s / Ö n а х + ta s / Ö n. u = n S2 / s2 = (n - 1) s2 / s2 распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия ¥ ò f n - 1 (u) du = a, (2.24) C2a Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1 и C2a2, получим границы доверительного интервала для дисперсии: n S2 / C2a1 s2 n S2 / C2a2 или (n - 1) s2 / C2a1 s2 (n - 1) s2 / C2a2
КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm: z = F (а1, а2,..., аm). Пусть каждая из величин аj (j = 1, 2,..., m) измерена с погрешностью Dj. Необходимо оценить значение погрешности Dz результата косвенного измерения. Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал:: dz = (¶F/¶a1)da1 + (¶F/¶a2)¶a2 +... + (¶F/¶am) dam, или dz = å (¶F/¶aj) daj. j = 1 Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями: m dz = å (¶F/¶aj) Dj. (6.1) j = 1 Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены со случайными погрешностями Dj, имеющими нулевые математические ожидания М = 0 и дисперсии s2j. Использовав формулу, запишем выражения для математического ожидания М и дисперсии s2 погрешности Dz: m М = å (¶F/¶aj) М = 0; j = 1
m m ¶F ¶F s2 = å (¶F/¶aj)2 s2j + 2 å rkl ½------ ------½ sk sl, j = 1 k 1 ¶ak ¶al Если погрешности Dj некоррелированы, то m s2 = å (¶F/¶aj)2 s2j (6.2) j = 1 Таким образом, для оценки результата z косвенного измерения естественно применить формулу z = F (а1, а2,..., а m), а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2). Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния ¶F/¶aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок aj. Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.
ФОРМЫ ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Производственные измерения проводятся обычно однократно, и точность полученного результата оценивается по нормируемым метрологическим характеристикам используемых средств измерения. В общем случае суммарная погрешность измерения будет содержать систематическую и случайную составляющие (1.2) Если не произведено разделение погрешностей на систематические и случайные, то результат измерения (в соответствии с ГОСТ 8.011-72 «Показатель точности и формы представления результатов измерений» записываются в следующем виде: х, Dх от Dхн до Dхв, Р, где х - результат измерения в единицах измеряемой величины; Dх, Dхн = Dгн, Dхв = Dгв - соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами. ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы записи результата измерения, отличающиеся от приведенной формы тем, что в них указывают отдельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности. При этом для систематической погрешности также называют ее вероятностные характеристики: математическое ожидание м(Dс) и среднее квадратическое отклонение σ(Dс). При записи результата измерения и погрешности младшие разряды числовых значений результата измерения и числовых значений погрешности должны быть одинаковыми
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ ИНФОРМАЦИОННО ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕЛЕМАТИКИ Информационно вычислительные комплексы представляют собой автоматизированные средства измерений и обработки измерительной информации. Их отличительной чертой является наличие в комплексе свободно программируемой ЭВМ, которая используется не только для обработки результатов измерения, а также для управления воздействием (если это необходимо) не объект исследования. ИВК - разновидность ИИС.
Средства измерений, которые могут использоваться не только автономно, но и в составе систем называют средствами измерений системного применения. В этих средствах широко используются средства вычислительной техники. ИВК и другие средства измерений, содержащие средства вычислительной техники, образуют группу измерительно-вычислительных (процессорных) средств. Для выполнения массовых технологических измерений применяются измерительные установки. Измерительной установкой называют совокупность функционально и конструктивно объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенных для рациональной организации измерений. Электроизмерительные установки используют, например, для градуировки и поверки электроизмерительных приборов. Все средства измерений по выполняемым метрологическим функциям делят на образцовые и рабочие. Образцовые средства измерений предназначены для поверки с их помощью других рабочих средств измерений. Рабочие средства используют для выполнения всех измерений, кроме измерений, связанных с поверкой, т. е. передачей размера единиц величин. Усложнение современного производства, развитие научных исследований привело к необходимости измерять и контролировать одновременно сотни и тысячи различных физических величин. Естественная физиологическая ограниченность возможностей человека в восприятии и обработке больших объемов информации стала одной из причин появления таких СИ, как измерительные системы. Измерительные системы - это совокупность функционально объединенных средств измерений, средств вычислительной техники и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации о физических величинах, свойственных данному объекту, в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в автоматических системах управления. Примерами могут служить системы, развернутые на крупных предприятиях и предназначенные для контроля технологического процесса производства какого-либо изделия, например производства стали, электроэнергии и т.п. В зависимости от назначения измерительные системы разделяют на измерительные, контролирующие, управляющие. По числу измерительных каналов системы подразделяются на одно-, двух-, трех- и многоканальные. Важной разновидностью измерительно-вычислительных комплексов являются информационно-измерительные системы (ИИС), предназначенные для представления измерительной информации в виде, необходимом потребителю. По организации алгоритма функционирования различают системы:
Наиболее перспективным методом разработки и производства ИИС является метод агрегатно-модульного построения из сравнительно ограниченного набора унифицированных, конструктивно законченных узлов или блоков.
Связь между блоками системы и их совместимость устанавливается посредством стандартных интерфейсов. Под интерфейсом понимается совокупность механических, электрических и программных средств, позволяющих объединять блоки в единую систему. Структура ИИС довольно разнообразна и существенно зависит от решаемых задач.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 75; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.168.172 (0.041 с.) |