Векторний добуток двох векторів

Векторний добуток  і  це є: . (1.7)

де  – орт, направлений по нормалі до площини векторів  і , причому так, що найменша кутова відстань між їхніми напрямками, позначена , відповідає переміщенню від  до  за годинниковою стрілкою, якщо дивитися вздовж .

Геометричний зміст векторного добутку векторів  і  – це є площа паралелограма, побудованого на цих векторах

Властивості векторного добутку векторів:

1. Якщо , тобто úú , то . Векторний добуток рівний нулю, коли вектори  і  паралельні.

2. , де  – скаляр.

3. .

4. . Від перестановки множників векторний добуток змінює знак.

Скалярні добутки декартових орт:

– для úú орт;  – для ^ орт.

Векторні добутки декартових орт:

	для úú орт
}	для ^ орт

 

Змішаний (векторно-скалярний) добуток векторів

Для трьох векторів  визначено добуток:

.    (1.8)

Геометрично – це є об’єм паралелепіпеда.

 

Властивості:

1. При циклічній перестановці векторів множників, змішаний добуток не змінюється: ;

2. При перестановці двох співмножників змішаний добуток змінює знак: ;

3. Змішаний добуток дорівнює нулю, якщо  – компланарні.

Подвійний векторний добуток

Він розкривається за формулою:

.          (1.9)

Тут скалярні добутки, що позначені за допомогою круглих дужок, входять як числа.

 

Градієнт

Нехай задано скалярне поле . Введемо вектор , що називається градієнтом U, який направлений у сторону максимального збільшення U і рівний швидкості зміни U у цьому напрямку (див. рис. зліва).

Очевидно, що:       ,                                                   (1.10)

де  – лінія, ортогональна до поверхні рівня. І:   .     (1.11)

Тоді визначаючи проекції градієнта U в декартовій системі координат:

, , , маємо: . (1.12)

Скалярне поле U породжує векторне поле . Таке векторне поле називається потенціальним, а скалярна функція – потенціалом. Поверхні рівня, на яких , є еквіпотенціальними поверхнями. Тоді модуль градієнта рівний:

.

Стрілка градієнта вказує на напрямок найбільшої крутизни (рис. зліва) Градієнт ще називають просторовою похідною (рис. зверху справа).

                 1.4. Силові лінії

Для наглядного відображення векторний полів переважно будують картини так званих векторних, або силових ліній. Це лінії, дотичні до яких у кожній точці вказують напрямок вектора. Густина силових ліній може відповідати інтенсивності поля. При цьому кількість силових ліній, що проходять через ортогональну площадку, повинна бути пропорційна абсолютному значенню вектора, практично постійному в межах малої площадки (див. рис., де ).

 

 

                1.5. Потік вектора

Потік вектора через поверхню S (не обов’яз-ково замкнену) – це скалярна величина, яка чисельно рівна кількості ліній вектора, що пронизують дану площадку:                         ,                                                 (1.13)

де векторний диференціал  розуміється як добуток звичайного (скалярного) диференціалу поверхні  на орт нормалі , тобто . Тому . Якщо поверхня S замкнена, то , тоді  – орт зовнішньої нормалі, який для незамкненої поверхні вибирається довільно. Потік Ф додатній, якщо силові лінії виходять з поверхні S назовні, і від’ємний, якщо вони входять всередину (тому що, кут між  і  у першому випадку гострий, а у другому – тупий). Потік вектора вимірюється числом його ліній, що виходять з поверхні, якщо густина ліній відповідає інтенсивності поля.

Є такі типи полів векторного поля  в області V із поверхнею S:

 

 

Дивергенція

Потік вектора є інтегральною характеристикою поля, яка застосовується до кінцевого об’єму, але не дає інформації про розподіл зарядів в цьому об’ємі. У зв’язку з цим вводиться аналогічна диференціальна характеристика – дивергенція вектора, яка застосовується до точки. Зменшуючи поверхню, яка обмежує деякий об’єм простору до точки, отримаємо скалярну характеристику поля – дивергенцію.    

Дивергенцією (а також розходженням) вектора  називається величина, що визначається співвідношенням: .           (1.14) Дивергенція – це скалярна функція координат. Позначаючи потік вектора  через поверхню S як D Ф, можна написати:  

або в декартових координатах: (1.15)

Дивергенція – це диференціальна операція над компонентами вектора, що приводить до скалярної величини. Якщо в деякій точці , то ця точка є джерелом силових ліній – це є витік; якщо , то точка є стоком. Якщо , то лінії не починаються і не закінчуються в цій точці.

Циркуляція

Нехай задано довільне векторне поле  і у цьому ж полі вибрана крива l, причому вказано додатній напрямок руху по ній (див. рис.). Лінійним інтегралом вектора  по кривій l називається криволінійний інтеграл: . Враховуючи, що в декартових координатах диференціал дуги рівний , тоді будемо мати:

 

Якщо крива ℓ замкнута, то лінійний інтеграл вектора  вздовж неї так само називається циркуляцією вектора  вздовж ℓ:

.                                         (1.16)

Ротор

Ротором (а також ротацією, вихором) вектора  називається векторна величина, що позначається символом . За визначенням, проекція  на деякий напрямок  (в точці, околом якої є площадка DS), є:

                            .                                          (1.17)

де  – нормаль до площадки DS (орт ); L– граничний контур D S, узгоджений з  правогвинтовою системою:

    .  (1.18)

Ротор – це диференціальна операція над , що приводить до нової векторної величини .

Оператор Гамільтона

Англійський математик Вільям Гамільтон помітив, що основні диференційні операції, які проводяться над скалярними і векторними полями, можна дуже зручно записати, якщо ввести особливий символ:                                                                            .                           (1.19)

Цей символ отримав назву “ набла ” або “ оператор Гамільтона ”. (Слово “набла” по-грецьки означає “арфа”). Основні випадки застосування набла-вектора:

1. При множенні символічно Ñ на скалярну функцію U(x,y,z) отримуємо градієнт цієї ж функції:      

2. При множенні скалярно Ñ на векторну функцію F (x,y,z), отримуємо дивергенцію функції:

3. При множенні векторно набла-вектор Ñ на векторну функцію F (x,y,z), отримуємо ротор функції:

Диференціальний оператор діє тільки на той множник, який розташований безпосередньо за оператором.      Приклади:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , де  – скаляр.