Брахмагупта, Махавира и Бхаскара

Самыми выдающимися математиками Древней Индии считают Арьябхату (род. 476), Брахмагупту (род. 598), Махавиру (XI в.) и Бхаскару II (род. 1114). Формально их следовало бы причислить к астрономам, поскольку в то время математика считалась одной из астрономических техник. Их математические выкладки были разбросаны в отдельных главах в трудах по астрономии: никто не придавал им статуса самостоятельной науки.

Арьябхата утверждал, что свой труд «Арьябхатия» он создал в 23 года. Несмотря на краткость изложения, посвященный математике раздел его книги напичкан сведениями: буквенная система записи чисел, правила арифметики, методы решения простых и квадратных уравнений, тригонометрия (включая функции синуса и «обращенного синуса» 1 – cos θ). Также ему принадлежит превосходное по точности приближение 3,1416 для числа π.

Брахмагупта – автор двух книг: «Брахма-спхута-сиддханта» и «Кханда-кхадьяка». Первая – самая важная: это астрономический текст с углублением в математику, с арифметическими и словесными эквивалентами простой алгебры. Вторая книга в числе прочего включает замечательную интерполяционную формулу для вычисления синусов на основе небольшого числа известных табулированных значений этой функции: используются значения большего и меньшего углов, чем искомый.

Махавира исповедовал джайнизм и включил много положений этой религии в свой труд по математике, «Ганита-сара-самграха». Эта книга во многом повторяет труды Арьябхаты и Брахмагупты, но идет гораздо дальше и в целом намного сложнее. Она содержит описание дробей, перестановок и комбинаций, решение квадратных уравнений, теорему Пифагора и попытку вычислить периметр эллипса.

Бхаскара (известный также как «учитель») написал три известных труда: «Лилавати», «Биждаганита» и «Сиддханта-широмани» («Венец учения»). Согласно Фейзи, придворному поэту при могольском императоре Акбаре, дочь Бхаскары звали Лилавати. Отец решил составить ей гороскоп и вычислить точное время ее свадьбы. Чтобы придать своим манипуляциям наибольшую эффектность, он поместил дырявую чашку в таз с водой, так что в самый ответственный момент она должна была погрузиться на дно. Но Лилавати так низко наклонилась над водой, что жемчужинка с ее расшитого бусами платья отскочила и упала в чашку, закупорив дырку. Чашка так и не утонула, а это означало, что день свадьбы Лилавати никогда не наступит. Чтобы утешить дочь в ее горе, Бхаскара написал для нее труд по математике. Правда, легенда не уточняет, что подумала об этом сама девушка.

Древняя обсерватория Джантар-Мантар возле Джайпура. Сегодня очевидно, что дизайнер был прекрасным математиком

«Лилавати» посвящена сложным идеям арифметики и содержит метод девятки, при котором числа заменяют суммой составляющих их цифр, чтобы проверить результат вычислений. Там же приводятся правила проверки делимости на 3, 5, 7 и 11. Четко прописаны функции нуля как самостоятельной цифры. В «Биждаганите» мы находим способы решения уравнений. «Сиддханта-широмани» связана с тригонометрией: здесь есть таблицы синусов и различные тригонометрические соотношения. Репутация Бхаскари была столь прочной, что его книги переиздавали вплоть до начала XIX в.

Индийская система

Индийская система начала распространяться по арабскому миру еще до того, как полностью сформировалась на родине. Ученый Север Себохт так описывал ее использование в Сирии в 662 г.: «Я опущу все дискуссии о науке в Древней Индии ‹…› об их превосходных открытиях в астрономии ‹…› и других ценных методах вычисления ‹…› я хочу лишь сказать, что все эти вычисления были сделаны при помощи девяти цифр».

В 776 г. при дворе Великого халифа появляется путешественник из Индии и демонстрирует свои способности в сиддханта – методе подсчетов, а также в тригонометрии и астрономии. Судя по всему, основой его вычислений служила «Брахма-спхута-сиддханта» Брахмагупты, написанная в 628 г., но в любом случае его труд был прекрасно переведен на арабский.

На первых порах индийской системой пользовались только ученые, и лишь позже этот метод стал распространяться в арабском деловом сообществе, а потом и в быту, вплоть до 1000 г. Но изданный в 825 г. труд Аль-Хорезми «Книга об индийском счете» принес индийской системе широкую известность в арабском мире. Четырехтомный труд другого математика, Аль-Кинди, «О применении индийской арифметики» (830) укрепил уверенность ученых в возможности записать любое число при помощи всего десяти цифр.

Темные века

Арабский и индийский мир делали выдающиеся шаги как в математике, так и в остальных науках, а Европу охватил период относительного застоя, хотя Средние века всё же нельзя назвать темными временами в полном смысле. Было заметно продвижение вперед, но медленное и будто нерешительное. Скорость изменений стала нарастать с момента, когда в Европе распространились научные открытия Востока. Из европейских стран Италия расположена ближе всего к арабскому миру, и вполне естественно, что достижения соседей, умудренных в математике, попадали в Европу через Италию. Венеция, Генуя и Пиза уже в то время были важными центрами торговли, и купеческие корабли ходили отсюда до Северной Африки и восточного побережья Средиземноморья. Они активно обменивали европейскую шерсть и древесину на шелк и специи.

Помимо торговли в прямом смысле – материальными ценностями, – не менее активно велись и «продажи» научных идей. Именно по торговым путям в Европу проникли арабские открытия в математике и других науках, зачастую передаваемые из уст в уста. Благодаря торговле Европа добилась процветания, на смену бартеру пришли деньги, система расчетов, вкладов и пошлин стала намного сложнее. Эквивалентом карманному калькулятору того времени был абак – простые счеты, где костяшки на проволоке изображали числа. Но эти числа требовалось еще и записать на бумаге для легитимности сделок и составления отчетов. Купцы отчаянно нуждались в надежном способе записи чисел, а также в простых и быстрых методах вычислений.

Влиятельной фигурой был в то время Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, чей труд «Книга абака» был опубликован в 1202 г. (По-итальянски «abbaco» означает «вычисление», так что не стоит путать его с абаком – латинскими счетами.) В своей книге Леонардо познакомил Европу с индийско-арабскими обозначениями цифр.

Эволюция западных символов цифр

В «Книге абака» есть одно нововведение, сохранившееся до наших дней: горизонтальная черта в дроби. Индусы использовали те же символы, но без черты; судя по всему, первыми ее предложили арабы. Фибоначчи применял ее очень часто, но его подход отличается от современного. Например, он мог одну черту использовать как элемент сразу нескольких самостоятельных дробей.

Поскольку дробям в нашей истории отводится крайне важное место, стоит сделать несколько уточнений. В такой дроби, как, 4 в нижней половине показывает, что нужно поделить единицу на четыре равные части, а 3 в верхней половине – что нужно выбрать три из этих единиц. Более формально: 4 – знаменатель, а 3 – числитель. Для удобства работы дроби несколько видоизменились: три четверти изображают как 3/4 или ³/₄. Горизонтальную черту заменила косая, или слеш.

Мы не так часто прибегаем на практике к обыкновенным дробям. Гораздо чаще используются десятичные: например, π = 3,14159 – не точно, но вполне достаточно для большинства подсчетов. Стоило бы сделать рывок к десятичным дробям, но мы договорились следовать за идеей, а не хронологией, и придется перейти к дальнейшим фактам. Итак, переносимся в 1585 г., когда Вильгельм Оранский избрал фламандца Симона Стевина советником своего сына Морица, графа Нассауского.

Воспользовавшись возможностью, Стевин сумел сделать хорошую карьеру, став инспектором водных сооружений, главным военным квартирмейстером и под конец – министром финансов. Он быстро осознал необходимость в точных процедурах бухгалтерского учета и обратился к итальянским математикам эпохи Возрождения, а также к переложению для Европы индийско-арабской системы счисления, сделанному Леонардо Пизанским. Он находил вычисления при помощи простых дробей громоздкими и неудобными и предпочел бы более точную и аккуратную систему, предложенную вавилонянами, – если бы в ее основании не находилось число 60. Стевин попытался найти вариант, сочетавший лучшие черты подходов, и изобрел десятеричный аналог вавилонской системы – десятичные дроби.

Стевин опубликовал арифметику десятичных дробей, а также пылкую и аргументированную статью о полезности их применения: «Все необходимые для делопроизводства вычисления можно будет делать с помощью целых чисел, без добавления дробей».

В его системе еще не использовалась знакомая нам запятая, но она очень скоро приняла современный вид. Там, где мы бы написали 5,7731, Стевин писал. Символ обозначал целое число, – одну десятую, – одну сотую и т. д. Привыкнув к этой системе, люди вскоре отказались от символов, и т. д., оставив только, который сократился и упростился до обычной запятой.

Отрицательные числа

Математики все числа, употребляемые при счете, называют натуральными. Добавив к ним отрицательные числа, мы получим множество целых чисел. Рациональные числа – положительные и отрицательные дроби, вещественные числа (действительные) – положительные и отрицательные десятичные дроби со сколь угодно большим числом цифр после запятой.

Как же отрицательные числа вошли в историю?

На заре первого тысячелетия в Китае вместо абака пользовались системой счетных палочек. Чтобы изображать числа, их выкладывали группами.

Верхний ряд на картинке показывает вертикальные палочки, представляющие единицы, сотни, десятки тысяч и т. д., соответствовавшие их положению в ряду символов. Нижний – горизонтальные палочки, представляющие десятки, тысячи и т. д. Здесь мы имеем два чередующихся типа. Подсчеты велись с помощью обоих типов палочек.

Счетные палочки древних китайцев

Для решения системы двух линейных уравнений китайские математики должны были разложить палочки на столе. Они использовали красные для чисел, которые собирались прибавлять, и черные – для вычитания. И тогда для решения системы уравнений, которую мы бы записали так:

3x – 2y = 4

x + 5y = 7,

они бы выложили в виде двух колонок на столе: одно с числами 3 (красные), 2 (черные), 4 (красные) и другое – 1 (красная), 5 (красные), 7 (красные).

Красно-черная система обозначения не приводит нас к отрицательным числам, это пока всего лишь операция вычитания. Однако она уже близка к самой «чжэн фу шу» – концепции положительных и отрицательных чисел. Здесь отрицательное число представлялось с использованием того же набора палочек, что и для положительных, с дополнительной отметкой в виде косой палочки над цифрой.

Уравнения в китайском стиле. Серыми изображены красные палочки

Согласно Диофанту, все числа могут быть только положительными. Он отвергал возможность существования отрицательных решений для уравнений. Но индийские математики считали отрицательные числа очень удобными для обозначения долгов в финансовых подсчетах: задолжать кому-то некоторую сумму в финансовом смысле считалось худшим вариантом, чем вообще не иметь денег. Ясно, что долг должен быть меньше 0. Если у вас было три фунта, а вы заплатили два, то у вас осталось 3–2 = 1 фунт. Иными словами, если у вас был долг два фунта, а вы получили три, ваша чистая прибыль составляет –2 + 3 = 1. Бхаскара замечает, что если конкретная задача имеет два решения, 50 и –5, то второе его категорически не устраивает: «Его не следует учитывать, потому что люди не приемлют отрицательных решений».

Несмотря на эти препятствия, мало-помалу отрицательные числа завоевывали себе место. И в реальных вычислениях их необходимо было как-то обозначать. Иногда они ставили ученых в тупик, иногда показывали долги, иногда обозначали движение вниз, а не вверх. Но какой бы ни была интерпретация, они превосходно служили арифметике и оказались так полезны в подсчетах, что глупо было бы от них отказываться.

Арифметика бессмертна

Мы так привыкли к нашей числовой системе, что готовы считать ее единственно возможной, по крайней мере единственной удобной. Но она развивалась тяжело, со множеством тупиковых ветвей, на протяжении тысячелетий. А еще у нее было много альтернатив, даже в таких ранних культурах, как майя. Иные обозначения для цифр 0–9 остаются в ходу в ряде стран. Да и в наших компьютерах внутренняя система счисления двоичная, а не десятичная: специально встроенные в них программы преобразуют числа в десятичную форму, прежде чем выводят их на экран или принтер.

Наша жизнь теперь неотделима от компьютеров, так стоит ли по-прежнему учить детей арифметике? Да, и по многим причинам. Кому-то надо уметь конструировать и собирать калькуляторы и компьютеры и обучать их командам. Для этого необходимо понимать арифметику: как и почему она работает, а не только как ею пользоваться. И если ваши арифметические способности сводятся к чтению чисел на экране калькулятора, скорее всего, вы и глазом мигнуть не успеете, как прозеваете чек с ошибкой в супермаркете. Без владения базовыми арифметическими действиями вы останетесь профаном во всем, что касается математики. Нашей цивилизации очень скоро придет бесславный конец, если мы начнем преподавать арифметику выборочно: ведь нельзя определить по ребенку в возрасте пяти лет, станет ли он инженером или ученым или хотя бы банковским служащим либо бухгалтером.

Конечно, раз вы уже владеете всей премудростью арифметики, использование калькулятора сэкономит кучу времени и сил. И всё же, как вы не станете учиться ходить, опираясь на костыль, так вы не сможете постичь законы взаимодействия чисел, полагаясь только на калькулятор.