Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых

Плоскости, параллельной другой прямой

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых.

Определение скрещивающихся прямых

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Рис. 1.

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

Возможные случаи расположения прямых

Три случая расположения прямых

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С: (Рис. 2.). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 2.

2) Прямые a и b параллельны: a ||b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 3.

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 4.

Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде

Пример

Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?

Рис. 5.

Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

Задача 1

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M,N,P – середины отрезков DA,DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.

Рис. 7.

 

1) ND и AB.

Прямая ND - это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.

2) PK и ВС.

Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N,P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.

3) MN и AB.

В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.

4) МР и АС.

В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.

5) КN и АС.

Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.

6) МD и ВС.

Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.

Задача 2

Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.

Доказательство

Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С,D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.

Итоги урока

Итак, мы познакомились со скрещивающимися прямыми: дали определение, доказали признак скрещивающихся прямых. Также мы доказали теорему о том, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Теперь нам известны все случаи взаимного расположения прямых в пространстве: они могут пересекаться, быть параллельными, быть скрещивающимися.

 

Задача 1

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если:

1) ∠ АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА₁ параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А₁СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А₁СD равен углу АОВ, то есть 40°.

Рис. 7.

2) ∠ АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁.

Рис. 8.

3) ∠ АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁ равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Рис. 9.

Задача 2

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Рис. 10.

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M,N,K,L – середины ребер BD,AD,AC,BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. LК – средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и LК параллельны АВ. Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. NК – средняя линия треугольника АСD, по свойству, NК параллельна DС. Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК, которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС. Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

 

Тема урока

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

Определения параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

Рис. 1.

Аксиома А3

Существуют ли параллельные плоскости?

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Задача 1

Плоскости и параллельны, прямая m лежит в плоскости .

Докажите, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство

Предположим, что прямая m пересекается с плоскостью в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости , и плоскости (так как точка М лежит на прямой m, а прямая m принадлежит плоскости ). Но это невозможно, так как плоскости и по условию параллельны. Значит, прямая m параллельна плоскости .

Рис. 5.

Задача 2

Докажите, что плоскости и параллельны, если прямые m и n плоскости параллельны плоскости .

Доказательство

Предположим, что плоскости и пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость проходит через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости и не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Рис. 6.

Задача 3

Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости .

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскость . Стороны АВ и АС параллельны плоскости (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость и притом только одна. Плоскость параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости (из задачи 1).

Рис. 7.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели определение и признак параллельных плоскостей. На следующем уроке мы рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

 

Тема урока

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

 

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и , которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Рис. 3.

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости – В₁С₁. По первому свойству, линии пересечения ВС и В₁С₁ параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ₁С₁ подобны. Получаем:

 

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В₂ (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂ =2 А₁А =12 см, АВ₁ =5 см.

б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁ =18 см. АА₁ =24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂ =2 k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА₂ =3 k =3∙6=18, т.е. АА₂ =18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА₂ = 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂ = k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА₂ состоит из длин двух отрезков: АА₂ = АА₁ + А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит, см.

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

см.

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

 

Тема: Параллельность прямых и плоскостей