Г етероскедастичность ошибок

 

Пусть ошибки не коррелированы по наблюдениям, и матрица Ω (а вслед за ней и матрица   D) диагональна. Если эта матрица единична, т.е. дисперсии ошибок

 

 

8.2. Гетероскедастичность ошибок                                      259

одинаковы по наблюдениям (гипотеза g 4 не нарушена), то имеет место гомос - ке д астичность   или  однородность  ошибок  по  дисперсии — «штатная» ситуация. В противном случае констатируют гетероске д астичность ошибок или их неодно- родность по дисперсии.

i

Пусть v ar (ε i) = σ2 — дисперсия ошибки i -го наблюдения. Гомоскедастич-

i

ность означает, что все числа σ2

одинаковы, а гетероскедастичность — что среди

них есть несовпадающие.

Факт неоднородности остатков по дисперсии мало сказывается на качестве оце- нок регрессии, если эти дисперсии не коррелированы с независимыми факторами. Это — случай гетероскедастичности «без негативных последствий».

 

Данное утверждение можно проиллюстрировать в случае, когда в матрице   Z   все- го один столбец, т.е. n = 1 и свободный член отсутствует. Тогда формула (7.33) приобретает вид:

                                                              σ2  2 

E (s 2) = 1

 σ2

i zi

i   .

e N 

i −   z 2  

i                        i i

 

i

Если ситуация штатная и σ2 = σ2 , то правая часть этой формулы преобразуется к ви-

ду   N   − 1 σ2, и       N s 2

оказывается несмещенной оценкой  σ2 , как и было пока-

N                         N − 1   e

1 

i

зано в параграфе 7.2. Если σ i   и zi   не коррелированы, то, обозначив σ2 =

N

можно утверждать, что

σ2,

i

 σ2  2

2  2

i z, i      σ

z

i                                        2  ≈

i

i

z, i

z   = σ,

i   2 2

i

i

т.е. ситуация остается прежней. И только если σ i   и   zi   положительно (или отрица- тельно) коррелированы, факт гетероскедастичности имеет негативные последствия.

 σ2  2

Действительно, в случае положительной корреляции

i z i

z

  2

i

> σ2 и, следова-

тельно, E

   N 2

s

N − 1   e

< σ2 . Обычная «несмещенная» оценка остаточной диспер-

сии оказывается по математическому ожиданию меньше действительного значе-

ния остаточной дисперсии, т.е. она (оценка остаточной дисперсии) дает основания для неоправданно оптимистичных заключений о качестве полученной оценки модели.

 

Следует заметить, что факт зависимости дисперсий ошибок от независимых факторов в экономике весьма распространен. В экономике одинаковыми по диспер-

сии скорее являются относительные (ε z), а не абсолютные (ε) ошибки. Поэтому,

когда оценивается модель на основе данных по предприятиям, которые могут иметь

 

 

260                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

и, как правило, имеют различные масштабы, гетероскедастичности с негативными последствиями просто не может не быть.

Если имеет место гетероскедастичность, то, как правило, дисперсия ошибки связана с одной или несколькими переменными, в первую очередь — с факторами регрессии. Пусть, например, дисперсия может зависеть от некоторой перемен- ной y i  , которая не является константой:

 

σ2

i   = σ2

(y i), i = 1 ,..., N.

 

 

Как правило, в качестве переменной yi   берется один из независимых факторов или математическое ожидание изучаемой переменной, т.е. x 0 = Z α (в качестве его оценки используют расчетные значения изучаемой переменной Za).

В этой ситуации желательно решить две задачи: во-первых, определить, имеет ли место предполагаемая зависимость, а во-вторых, если зависимость обнаружена, получить оценки с ее учетом. При этом могут использоваться три группы методов. Методы первой группы позволяют работать с гетероскедастичностью, которая за-

дается произвольной непрерывной функцией  σ2(·). Для методов второй группы функция σ2(·)  должна быть монотонной. В методах третьей группы функция σ2(·)

предполагается известной с точностью до конечного числа параметров.

Примером метода из первой группы является критерий Бартлетта, который заключается в следующем.

Пусть модель оценена и найдены остатки e i, i = 1 ,..., N. Для расчета b c   — статистики, лежащей в основе применения этого критерия, все множество наблю- дений делится по какому-либо принципу на   k   непересекающихся подмножеств. В частности, если требуется выявить, имеется ли зависимость от некоторой пе- ременной   y i, то все наблюдения упорядочиваются по возрастанию   y i, а затем в соответствии с этим порядком делятся на подмножества. Пусть

k

N l   — количество элементов в l -м подмножестве,

s 2

  N l   = N;

l =1

l   — оценка дисперсии остатков в l -м подмножестве, найденная на основе

остатков e i  ;

k

1    N l s 2

bs   =

N

l =1

l

— отношение средней арифметической дисперсий к сред-

. k

s

3 2 N l

l

.1/ N

l =1

ней геометрической; это отношение в соответствии со свойством мажорантности средних (см. п. 2.2) больше или равно единице, и чем сильнее различаются диспер- сии по подмножествам, тем оно выше.

 

 

8.2. Гетероскедастичность ошибок                                      261

e

2

i

 

 

s

2

2

s

s

2                                                         2

1                                                         4

s

2

s

2                     5

Y i

 

 

Рис. 8.1

 

 

Тогда стат и ст и ка Барт ле тта равна

bc   =                                            N

 k

 

11

 

ln b s.

1+ l =1 N l   − N

3(k − 1)

 

При однородности наблюдений по дисперсии (нулевая гипотеза) эта статистика

χ

распределена как 2

k −1

. Проверка нулевой гипотезы проводится по обычному ал-

горитму.

Если нулевую гипотезу отвергнуть не удалось, т.е. ситуация гомоскедастична, то исходная оценка модели удовлетворительна. Если же нулевая гипотеза отверг- нута, то ситуация гетероскедастична.

Принцип построения статистики Бартлетта иллюстрирует рисунок 8.1.

Классический метод второй группы заключается в следующем. Все наблюдения упорядочиваются по возрастанию некоторой переменной y i. Затем оцениваются две вспомогательные регрессии: по K «малым» и по K «большим» наблюдениям (с целью повышения мощности критерия средние N − 2 K наблюдения в расчете не участвуют, а K можно, например, выбрать равным приблизительно трети N).

Пусть s 2 — остаточная дисперсия в первой из этих регрессий, а s 2 — во второй.

1                                                                                  2

В случае гомоскедастичности ошибок (нулевая гипотеза) отношение двух дисперсий

распределено как

 

2

  s 2

s

2 ∼  F K − n −1, K − n −1.

1

 

Здесь следует применять обычный F -критерий. Нулевая гипотеза о гомос- кедастичности принимается, если рассчитанная статистика превышает 95%-ный квантиль F -распределения.

 

 

262                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

e

2

i

 

 

s

2

2

 

s

2

Y i

 

 

Рис. 8.2

 

 

Такой подход применяется, если ожидается, что дисперсия может быть только по- ложительно коррелирована с переменной yi  . Если неизвестно, положительно или отрицательно коррелирована дисперсия с рассматриваемым фактором, то следу- ет отклонять нулевую гипотезу как при больших, так и при малых значениях ста-

s 2

2

тистики   s 2

1

. Можно применить следующий прием: рассчитать статистику как

1

отношение максимальной из дисперсий   s 2

и   s 2

к минимальной. Такая статисти-

2

ка будет иметь усеченное F -распределение, где усечение происходит на уровне медианы, и берется правая половина распределения. Отсюда следует, что для до- стижения, например, 5%-го уровня ошибки, следует взять табличную критиче- скую границу, соответствующую, 2. 5%-му правому хвосту обычного (не усеченного) F -распределения. Если указанная статистика превышает данную границу, то нуле- вая гипотеза о гомоскедастичности отвергается.

 

Данный метод известен под названием метода Голдфельда — К вандта.

2

Можно применять упрощенный вариант этого критерия, когда дисперсии s 2  и

s 2                                                                                        2 2

2  считаются на основе остатков из проверяемой регрессии. При этом s 1  и s 2  не

будут независимы, и их отношение будет иметь F -распределение только прибли-

женно. Этот метод иллюстрирует рисунок 8.2.

Для того чтобы можно было применять методы третьей группы, требуется обладать конкретной информацией о том, какой именно вид имеет гетероскеда- стичность.

 

Так, например, если остатки прямо пропорциональны значениям фактора (n = 1):

x = z α + β + z ε,

и  ε  удовлетворяет необходимым гипотезам, то делением обеих частей уравнения на   z   ситуация возвращается в «штатную»:

x = α + 1 β + ε,

Z    Z

 

 

8.2. Г е тероскедастичность ошибок                                 263

e

2

i

 

 

s

2

2

 

s

2

Yi

 

 

Рис. 8.3

 

 

в которой, правда, угловой коэффициент и свободный член меняются местами. Тем самым применяется преобразование в пространстве наблюдений такое, что диаго-

нальные элементы матрицы  D   равны 1 z i  .

 

Если зависимость дисперсии от других переменных известна не точно, а только с точностью до некоторых неизвестных параметров, то для проверки гомоскеда- стичности следует использовать вспомогательные регрессии.

Так называемый метод Глейзера состоит в следующем. Строится регрессия модулей остатков | e i | на константу и те переменные, которые могут быть коррели- рованными с дисперсией (например, это может быть все множество независимых факторов или какое-то их подмножество). Если регрессия оказывается статисти- чески значимой, то гипотеза гомоскедастичности отвергается.

Построение вспомогательной регрессии от некоторой переменной yi   показано на рисунке 8.3.

i

Другой метод (критерий Годфрея) использует аналогичную вспомогательную регрессию, в которой в качестве зависимой переменной используются квадраты остатков   e 2.

Если с помощью какого-либо из перечисленных критериев (или других анало- гичных критериев) проверены различные варианты возможной зависимости и ну- левая гипотеза во всех случаях не была отвергнута, то делается вывод, что ситуа- ция гомоскедастична или гетероскедастична без негативных последствий и что для оценки параметров модели можно использовать обычный МНК. Если же нуле- вая гипотеза отвергнута и поэтому, возможно, имеет место гетероскедастичность с негативными последствиями, то желательно получить более точные оценки, учи- тывающие гетероскедастичность.

Это можно сделать, используя для оценивания обобщенный МНК (см. уравне- ние (8.2)). Соответствующее преобразование в пространстве наблюдений состоит

 

 

264                     Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

в том, чтобы каждое наблюдение умножить на d i  , т.е. требуется оценить обычным методом наименьших квадратов преобразованную регрессию с переменными d i Xi   и d i Z i. При этом не следует забывать, что если матрица факторов Z содержит свободный член, то его тоже нужно умножить на d i  , поэтому вместо свободного члена в регрессии появится переменная вида (d 1 ,..., d N  ). Это приводит к тому, что стандартные статистические пакеты выдают неверные значения коэффициен- та детерминации и F -статистики. Чтобы этого не происходило, требуется поль- зоваться специализированными процедурами для расчета взвешенной регрессии. Описанный метод получил название взвешенного МНК, поскольку он равнозначен

N

минимизации взвешенной суммы квадратов остатков

  d 2 e 2.

i i

i =1

Чтобы это можно было осуществить, необходимо каким-то образом получить оценку матрицы D, используемой для преобразования в пространстве наблюдений. Перечисленные в этом параграфе методы дают возможность не только проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, но и получить определенные оценки матрицы   D (возможно, не очень хорошие).

Если S 2 — оценка матрицы σ2Ω, где S 2 — диагональная матрица, состав- ленная из оценок дисперсий, то S −1 (матрица, обратная к ее квадратному кор- ню) — оценка матрицы σ D.

Так, после проверки гомоскедастичности методом Глейзера в качестве диа-

гональных элементов матрицы   S −1  можно взять  1

c  , где | e i | c   — расчетные

| e i |

l

значения | e i |. Если используются критерии Бартлетта или Голдфельда—Квандта, то наблюдения разбиваются на группы, для каждой из которых есть оценка дис- персии, s 2. Тогда для этой группы наблюдений в качестве диагональных элементов

матрицы S −1  можно взять 1 s l  .

В методе Голдфельда—Квандта требуется дополнительно получить оценку дис- персии для пропущенной средней части наблюдений. Эту оценку можно получить непосредственно по остаткам пропущенных налюдений или как среднее (s 2 + s 2) / 2.

1 2

 

Если точный вид гетероскедастичности неизвестен, и, как следствие, взвешенный МНК неприменим, то, по крайней мере, следует скорректировать оценку ковариа- ционной матрицы оценок параметров, оцененных обычным МНК, прежде чем про- верять гипотезы о значимости коэффициентов. (Хотя при использовании обычного МНК оценки будут менее точными, но как уже упоминалось, они будут несмещенны- ми и состоятельными.) Простейший метод коррекции состоит в замене неизвестной

ковариационной матрицы ошибок  σ2Ω  на ее оценку   S 2 , где   S 2  — диагональная

i

матрица с типичным элементом e 2 (т.е. квадраты остатков используются как оценки дисперсий). Тогда получается следующая скорректированная оценка ковариацион-

ной матрицы a (о це нка Уа й та или устойчивая к гетероскедастичности оценка):

(Z r Z)−1  Z r S 2 Z (Z r Z)−1 .

 

 

8.3. Автокорреляция ошибок                                             265

 

Автокорреляция ошибок

 

Если матрица ковариаций ошибок не является диагональной, то говорят об ав- токорреляции ошибок. Обычно при этом предполагают, что наблюдения однород- ны по дисперсии, и их последовательность имеет определенный смысл и жестко фиксирована. Как правило, такая ситуация имеет место, если наблюдения про- водятся в последовательные моменты времени. В этом случае можно говорить о зависимостях ошибок по наблюдениям, отстоящим друг от друга на 1, 2, 3 и т.д. момента времени. Обычно рассматривается частный случай автокорреляции, когда коэффициенты ковариации ошибок зависят только от расстояния во времени меж- ду наблюдениями; тогда возникает матрица ковариаций, в которой все элементы каждой диагонали (не только главной) одинаковы1.

Поскольку действие причин, обуславливающих возникновение ошибок, доста- точно устойчиво во времени, автокорреляции ошибок, как правило, положительны. Это ведет к тому, что значения остаточной дисперсии, полученные по стандартным («штатным») формулам, оказываются ниже их действительных значений. Что, как отмечалось и в предыдущем пункте, чревато ошибочными выводами о качестве получаемых моделей.

 

Это утверждение иллюстрируется рисунком 8.4 (n = 1). На этом рисунке:

a — линия истинной регрессии. Если в первый момент времени истинная ошибка отрицательна, то в силу положительной автокорреляции ошибок все облако наблю- дений сместится вниз, и линия оцененной регрессии займет положение b.

Если в первый момент времени истинная ошибка положительна, то по тем же причи- нам линия оцененной регрессии сместится вверх и займет положение c. Поскольку

1 В теории временных рядов это называется слабой стационарностью.

 

 

x                                                                    c

 

A b

 

Время

 

 

Рис. 8.4

 

 

266                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

ошибки случайны и в первый момент времени они примерно с равной вероятно- стью могут оказаться положительными или отрицательными, то становится ясно, насколько увеличивается разброс оценок регрессии вокруг истинных по сравнению с ситуацией без (положительной) автокорреляции ошибок.

 

Типичный случай автокорреляции ошибок, рассматриваемый в классической эконометрии, — это линейная авторегрессия ошибок первого порядка AR(1):

 

ε i   = ρε i −1 + η i,

где η — остатки, удовлетворяющие обычным гипотезам;

ρ — коэффициент авторегрессии первого порядка.

Коэффициент  ρ вляется также коэффициентом автокорреляции (первого по- рядка).

 

Действительно, по определению, коэффициент авторегрессии равен (как МНК- оценка):

cov (ε i , ε i − 1)

ρ = v ar (ε

,

i −1)

но, в силу гомоскедастичности,   var (ε i −1) =, v ar (ε i) v ar (ε i −1)  и, следовательно,

ρ, также по определению, является коэффициентом автокорреляции.

 

Если  ρ = 0, то  ε i    =  η i   и получаем «штатную» ситуацию. Таким образом, проверку того, что автокорреляция отсутствует, можно проводить как проверку нулевой гипотезы H 0: ρ = 0 для процесса авторегрессии 1-го порядка в ошибках.

Для проверки этой  гипотезы  можно  использовать   критерий  Дарбина — Уотсона или DW - критерий. Проверяется нулевая гипотеза о том, что автокорре- ляция ошибок первого порядка отсутствует. (При автокорреляции второго и более высоких порядков его мощность может быть мала, и применение данного критерия становится ненадежным.)

Пусть была оценена модель регрессии и найдены остатки e i, i = 1 ,..., N. Значение статистики Дарбина—Уотсона (отношения фон Неймана), или DW -ста- тистики, рассчитывается следующим образом:

 

N

2

 (e i − e i −1)

d c = i =2

N

e

  2

i

 

.                           (8.3)

i =1

 

Оно лежит в интервале от 0 до 4, в случае отсутствия автокорреляции ошибок приблизительно равно 2, при положительной автокорреляции смещается в мень-

 

 

8.3. Автокорреляция ошибок                                                  267

 

 

0                                                2

D L                                        d U

 

D U

 

 

4

D L

 

Рис. 8.5

 

 

шую сторону, при отрицательной — в большую сторону. Эти факты подтвержда- ются тем, что при больших N справедливо следующее соотношение:

d c   ≈ 2(1 − r) ,                                                                            (8.4)

где r — оценка коэффициента авторегрессии.

 

Минимального значения величина d c   достигает, если коэффициент авторегрессии равен +1. В этом случае ei   = e, i = 1 ,..., N, и d c   = 0. Если коэффициент авторегрессии равен −1 и ei   = (−1) i e, i = 1 ,..., N, то величина d c   достигает

значения 4 N   − 1

N

(можно достичь и более высокого значения подбором остатков),

которое с ростом N   стремится к 4. Формула (8.4) следует непосредственно из (8.3)

после элементарных преобразований:

 

N   N

e

2

   i  e i −1 e i

N

e

  2

i −1

d c = i =2   − 2 i =2                                   +   i =2,

N

e

  2

i

i =1

N

e

  2

i

i =1

N

e

  2

i

i =1

поскольку первое и третье слагаемые при больших   N   близки к единице, а второе слагаемое является оценкой коэффициента автокорреляции (умноженной на −2).

 

Известно распределение величины d, если ρ = 0  (это распределение близко к нормальному), но параметры этого распределения зависят не только от N   и n, как для   t - и   F -статистик при нулевых гипотезах. Положение «колокола» функции плотности распределения этой величины зависит от характера Z. Тем не менее, Дарбин и Уотсон показали, что это положение имеет две крайние позиции (рис. 8.5).

Поэтому существует по два значения для каждого (двустороннего) квантиля, соответствующего определенным N и n: его нижняя d L   и верхняя d U   границы. Нулевая гипотеза H 0: ρ = 0 принимается, если d U    ™ d c ™ 4 − d U  ; она отвергается

в пользу гипотезы о положительной автокорреляции, если dc < d L  , и в пользу

 

 

268                     Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

гипотезы об отрицательной автокорреляции, если d c > 4 − d L  . Если d L   ™ d c < d U   или 4− d U < d c   ™ 4− d L  , вопрос остается открытым (это — зона неопределенности DW -критерия).

Пусть нулевая гипотеза отвергнута. Тогда необходимо дать оценку матрицы Ω.

Оценка r параметра авторегрессии ρ может определяться из приближенного равенства, следующего из (8. 4):

d c r ≈ 1 − 2,

 

или рассчитываться непосредственно из регрессии e на него самого со сдвигом на одно наблюдение с принятием «круговой» гипотезы, которая заключается в том, что   e N   +1  = e 1.

Оценкой матрицы Ω является

 



2

  1                                         r   r





 

··· r



N −1







   r                                          1  r ··· r N   −2



1                                

  

r

 2



1 − r 2 

r          1 ··· r



−

N   3 ,







.

..







...

...

...

..   



.







r N −1                                    r N −2    r N −3   ··· 1

а матрица D преобразований в пространстве наблюдений равна

 

√                     



  1 − r 2 0 0 ··· 0

                          

                          

− r     1 0 ··· 0

                          

                          

                          

0    − r 1 ··· 0  .

                          

                          

                          

.

...

.



.

.   ..





...

..   



.









0      0 0 ··· 1

 

Для преобразования в пространстве наблюдений, называемом в данном слу- чае авторегрессионным, используют обычно указанную матрицу без 1-й строки, что ведет к сокращению количества наблюдений на одно. В результате такого пре- образования из каждого наблюдения, начиная со 2-го, вычитается предыдущее, умноженное на r, теоретическими остатками становятся η, которые, по предпо- ложению, удовлетворяют гипотезе g 4.

 

 

8.3. Автокорреляция ошибок                                                  269

 

После этого преобразования снова оцениваются параметры регрессии. Если новое значение DW -статистики неудовлетворительно, то можно провести следую- щее авторегрессионное преобразование.

Обобщает процедуру последовательных авторегрессионных преобразований

метод  Кочрена — Оркатта, который заключается в следующем.

Для одновременной оценки r, a и b используется критерий ОМНК (в обозна- чениях исходной формы уравнения регрессии):

1 N

i − i −1  − i − i −1 − −

    ((x                     rx) (z rz) a (1 r) b)2

→ min,

N i =2

где z i   — n -вектор-строка значений независимых факторов в i -м наблюдении (i -строка матрицы Z).

Поскольку производные функционала по искомым величинам нелинейны от- носительно них, применяется итеративная процедура, на каждом шаге которой сначала оцениваются a и b при фиксированном значении r предыдущего шага (на первом шаге обычно r = 0), а затем — r при полученных значениях a и b. Процесс, как правило, сходится.

Как и в случае гетероскедастичности, можно не использовать модифицированные методы оценивания (тем более, что точный вид автокорреляции может быть неиз- вестен), а использовать обычный МНК и скорректировать оценку ковариационной матрицы параметров. Наиболее часто используемая оценка Ньюи — Уэста (устой- чивая к гетероскедастичности и автокорреляции) имеет следующий вид:

(Z r Z)−1  Q (Z r Z)−1 ,

где

 

N                L N

Q =   e 2 + 

 λ k e i e i

k (z z r

+ zi

k z r),

i

i =1

 

k =1 i = k +1

−    i i − k −   i

а λ k    — понижающие коэффициенты, которые Ньюи и Уэст предложили рассчи-

k                                                  . При k > L понижающие коэффициенты

тывать по формуле λ k   = 1 − L   +1 

становятся равными нулю, т.е. более дальние корреляции не учитываются

Обоснование этой оценки достаточно сложно2. Заметим только, что если заменить попарные произведения остатков соответствующими ковариациями и убрать пони- жающие коэффициенты, то получится формула ковариационной матрицы оценок МНК.

Приведенная оценка зависит от выбора параметра отсечения L. В настоящее вре- мя не существует простых теоретически обоснованных методов для такого выбора.

На практике можно ориентироваться на грубое правило L =

.   

4   T

100

2/9.

.

 

2 Оно связано с оценкой спектральной плотности для многомерного временного ряда.

 

 

270                      Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

 

Ошибки измерения факторов

 

Пусть теперь нарушается гипотеза g 2, и независимые факторы наблюдаются с ошибками. Предполагается, что изучаемая переменная зависит от истинных зна-

чений факторов (далее в этом пункте используется сокращенная форма уравнения регрессии), z ˆ0, а именно:

 

x ˆ = z ˆ0α + ε,

но истинные значения неизвестны, а вместо этого имеются наблюдения над неко- торыми связанными с z ˆ0 переменными z ˆ:

z ˆ = z ˆ0 + ε z,

где ε z   — вектор-строка длиной n ошибок наблюдений.

В разрезе наблюдений:

 

где

X ˆ = Z ˆ0α + ε, Z ˆ = Z ˆ0 + ε z,

Z ˆ0  и ε z    — соответствующие N × n -матрицы значений этих величин по на-

блюдениям (т.е., в зависимости от контекста, ε z   обозначает вектор или матрицу

ошибок).

Предполагается, что ошибки факторов по математическому ожиданию равны нулю, истинные значения регрессоров и ошибки независимы друг от друга (по край- ней мере не коррелированы друг с другом) и известны матрицы ковариации:

 

E (ε z  ) = 0 ,                           E (z ˆ0t , ε) = 0, E (z ˆ0t , ε z  ) = 0,

E (z ˆ0t , z ˆ0) = M 0,   E (εt , ε z  ) = Ω,   E (εt , ε) = ω.

 

(8.5)

z                               z

 

Важно отметить, что эти матрицы и вектора ковариации одинаковы во всех наблюдениях, а ошибки в разных наблюдениях не зависят друг от друга, т.е. речь, фактически, идет о «матричной» гомоскедастичности и отсутствии автокорреляции ошибок.

Через наблюдаемые переменные x ˆ в следующей форме:

и z ˆ

уравнение регрессии записывается

 

x ˆ = z ˆα + ε − ε z   α .                                                                       (8.6)

В такой записи видно, что «новые» остатки не могут быть независимыми от факто- ров-регрессоров z ˆ, т.е. гипотезы основной модели регрессии нарушены. В рамках

 

 

8.4. Ошибки измерения факторов	271
сделанных предположений можно доказать, что приближенно E(a) ≈ (M 0 + Ω)−1(M 0α + ω) = α + (M 0 + Ω)−1(ω − Ωα),	(8.7)

т.е. МНК-оценки теряют в такой ситуации свойства состоятельности и несмещен- ности3, если ω ƒ= Ωα (в частности, когда ошибки регрессии и ошибки факторов не коррелированны, т.е. когда ω = 0, а Ω  и α отличны от нуля).

 

Для обоснования (8. 7) перейдем к теоретическому аналогу системы нормальных уравнений, для чего обе части соотношения (8. 6) умножаются на транспонирован- ную матрицу факторов:

E (z ˆr x ˆ) = E (z ˆr z ˆ) α + E (z ˆrε) − E (z ˆrε z  ) α.

Здесь, как несложно показать, пользуясь сделанными предположениями,

E (z ˆr z ˆ) = M 0 + Ω,

E (z ˆrε) = ω,

E (z ˆrε z  ) = Ω,

 

Поэтому

 

или

 

 

E (z ˆr x ˆ) = E (z ˆr z ˆ) α + ω − Ωα

 

 

E (z ˆr z ˆ)−1 E (z ˆr x ˆ) = α +. M 0 + Ω.−1 (ω − Ωα).

N

Левая часть приближенно равна E (a). Действительно, a = M −1 m, где M =  1 Z ˆr Z ˆ

 

 

N

и m =  1 Z ˆr x ˆ. Выборочные ковари-

ационные матрицы   M   и   m по закону больших чисел с ростом числа наблюдений сходятся по вероятности к своим теоретическим аналогам:

 

p                 p