Конспект урока по предмету «Геометрия» 7 класс

Предмет: Геометрия

Класс: 7 класс

Тема: «Свойства параллельных прямых»

Цели: рассмотреть свойства параллельных прямых; добиться от учащихся понимания того, что накрест лежащие, соответственные и односторонние углы можно рассмотреть для любых двух прямых и секущей, но только в случае параллельных прямых накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°.

Ход урока

I. Проверка усвоения материала учащимися.

1. Сформулировать определение параллельных прямых.

2. Повторить признаки параллельности двух прямых.

3. Сформулировать аксиому параллельных прямых.

4. Повторить следствия из аксиомы параллельных прямых.

5. Устно решить задачу: докажите, что прямая, параллельная основанию АС равнобедренного треугольника АВС, перпендикулярна прямой ВD, где ВD – медиана треугольника.

II. Объяснение нового материала.

1. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.

2. Привести примеры изученных теорем и выделить в них условие и заключение (это делают учащиеся).

3. Ввести понятие теоремы, обратной данной.

4. Сформулировать теоремы, обратные трём теоремам п. 25, выражающим признаки параллельности прямых.

Необходимо сравнить условия и заключения двух теорем: теоремы, выражающей признак параллельности двух прямых, и обратной, составив следующую таблицу:

Признак параллельности прямых а и b	Свойство параллельных прямых а и b
Дано: прямые а и b, секущая с, Ð1 и Ð2 – накрест лежащие углы; Ð1 = Ð2.	Дано: прямые а и b, секущая с, Ð1 и Ð2 – накрест лежащие углы; а || b.
Доказать: а || b.	Доказать: Ð1 = Ð2.

5. Рассмотреть доказательство теоремы о накрест лежащих углах по рисунку 113 и таблице.

6. Акцентировать внимание учащихся на методе доказательства от противного, с помощью которого и была доказана теорема. Кроме того, важно отметить, что если верно некоторое утверждение, то отсюда еще не следует, что и обратное утверждение тоже верно. Например, рассмотрим два утверждения:

1) Если точка С – середина отрезка АВ, то АС = ВС.

2) Если АС = ВС, то точка С – середина отрезка АВ. Второе утверждение является обратным первому. Первое утверждение верно, в то время как второе неверно. В самом деле, в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ отрезки АС и ВС равны, но точка С не является серединой отрезка АВ.

7. Самостоятельно по учебнику учащиеся изучают теоремы о свойствах соответственных и односторонних углов, образованных двумя параллельными и секущей.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно по рисунку 114 учебника доказать следствие: если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

2. Устно решить №№ 201, 205 по рисунку 117 и № 209 по рисунку 118.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 29; повторить пункты 15–28; ответить на вопросы 1–15 на с. 68 учебника; решить задачи №№ 202 и 212.

 

 

Конспект урока по предмету

«Алгебра и начало математического анализа», 10 класс.

Класс: 10 класс

Тема: Числовая окружность (обобщающее занятие)

Учебник: «Алгебра» 10-11 класс, Мордкович А.Г.

Цель: рассмотреть понятия, связанные с числовой окружностью.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 

II. Изучение нового материала

Обычно углы в геометрии рассматриваются при пересечении прямых в многоугольниках (в частности, в треугольниках). При этом рассматриваемые углы составляют менее 360°. В физике (для колебательных, волновых и других процессов) приходится учитывать углы и больше 360°. Поэтому возникает понятие обобщенного угла.

 

 

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат, которую называют числовой окружностью. Возьмем точку Р0 (1; 0). Сместим эту точку по окружности и получим точку Рt. При этом смещение может происходить и по часовой стрелке, и против часовой стрелки на любую величину (как меньше одного оборота, как и больше одного оборота). Будем считать ∠P0OPt обобщенным углом {или просто углом) t. Углы, полученные поворотом точки Р0 против часовой стрелки, считаются положительными, по часовой стрелке - отрицательными. Принято указывать направление поворота стрелкой, а в случае более одного оборота - число оборотов. Например, на рисунке показаны положительный (а) и отрицательный (б) углы.

 

 

В тригонометрии величины углов, как правило, измеряются в радианах и значительно реже - в градусах. При этом за угол, равный 1 радиану (1 рад; слово «рад» обычно не пишут), принимают центральный угол, опирающийся на дугу окружности длиной, равной радиусу окружности; за угол, равный 1 градусу (1°), - центральный угол, опирающийся на дугу окружности длиной, равной 1/360 длины окружности. Рассматривая единичную окружность, получаем, что ее длина равна 2π. Поэтому между радианной и градусной мерой существует простое соотношение: 2п = 360° или п = 180°. Тогда

Пример 1

Запишем в других единицах измерения углы:

Учтем, что 1 (рад) = (180/π). Тогда получим:

Учтем, что 1° = π/180 (рад). Тогда имеем:

В частности, на последнем рисунке приведены углы:

Заметим, что использование радианной меры углов обусловлено, в том числе, более простой записью ряда формул. Для окружности радиуса R длина l ее дуги в t радиан вычисляется по формуле l = tR. Если дуга содержит n°, то аналогичная формула имеет вид: Также площадь S сектора крута радиуса R, дуга которого содержит t радиан вычисляется по формуле Если дуга содержит n°, то аналогичная формула имеет вид:

Теперь напомним определения основных тригонометрических функций, введенные в курсе геометрии.

 

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами а и b и гипотенузой с, с острым углом t. Тогда sin t = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе); cos t = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе); tg t = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему катету); ctg t = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему катету).

Для данного угла t отношения a/c, b/c, a/b, b/a не зависят от величин а, b и с.

 

 

Действительно, рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника ABC и АВ1С1 с общим острым углом t, катетами ВС = а, В1С1 = а1 и гипотенузами АВ = с, АВ1 = с1. По определению синуса из этих треугольников имеем: Но с другой стороны, из подобия треугольников получаем: или . Поэтому отношения не зависят от величин а, с, а1, c1 и зависят только от величины угла t. Следовательно, sin t (как и остальные значения cos t, tg t, ctg t) являются функциями угла t.

 

Пример 2

Найдем значения тригонометрических функций для π/6.

 

 

Так как тригонометрические функции угла не зависят от сторон треугольника, то рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ = 1 и острым углом А = π/6 = 30°. В таком треугольнике Тогда по теореме Пифагора Теперь легко найти все тригонометрические функции:

Для любого угла приближенные значения основных тригонометрических функций находятся с помощью калькулятора или таблиц. Для некоторых углов можно найти и точные значения тригонометрических функций, аналогично примеру 2. Эти значения приведены в таблице. Знак «-» в таблице означает, что данная функция при этом значении аргумента не определена (не существует).

 

Аргумент t	Функция
	sin t	cos t	tg t	ctg t
0° = 0	0	1	0	-
30° = π/6	1/2
45° = π/4			1	1
60° = π/3		1/2
90° = π/2	1	0	-	0

 

Заметим, что достаточно помнить значения только первых трех строк этой таблицы. Используя свойства тригонометрических функций и формулы приведения (см. следующие уроки), можно находить значения тригонометрических функций и для других углов, связанных с углами 0, π/6, π/4.

 

Пример 3

Вычислим, используя данные приведенной таблицы:

 

(учтено, что слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию).

 

Пример 4

Известно, что

Найдем

Найдем связь между sin t и cos t, используя условие задачи Подставим sin t в выражение А:

Заметим, что полученный ответ справедлив при cos t ≠ 0. Однако cos t не может равняться нулю, так как это противоречит условию задачи. Действительно, если cos t = 0, то выражение имеет вид: или l = 2. Так как это неравенство неверное, то cos t ≠ 0.

 

III. Контрольные вопросы

1. Как строится угол на числовой окружности?

2. Дайте определение 1 радиана и 1 градуса.

3. Какая связь между радианной и градусной мерами угла?

4. Дайте определение основных тригонометрических функций.

 

IV. Задание на уроке

§ 4, № 1; 3; 7; 12 (а, б); 13 (в, г); 14; 17; 19;

§ 5, № 1; 4; 6; 8; 10 (а, 6); 11; 13.

 

V. Задание на дом

§ 4, № 2; 4; 9; 12 (в, г); 13 (а, б); 15; 18; 20;

§ 5, № 2; 5; 7; 9; 10 (в, г); 12; 14.

 

VI. Творческие задания

1. Вычислите:

Ответы:

2. Известно, что

Найдите

Ответ: 22/27.

3. Известно, что

Найдите

Ответ: 20/17.

 

VII. Подведение итогов урока



 

 

Конспект урока