Расчет простейших статистических неопределимых систем

Статически неопределимые системы (СНС) – системы, у которых число

неизвестных реакций связей превышает число независимых уравнений статики.

Таких уравнений статики для плоской системы – 3:

,

а для пространственной системы – 6:

Следовательно, плоские СНС имеют число связей S > 3, а пространственные –

S > 6.

Примеры СНС даны на рис. 23. Стержень, жестко защемленный с двух сторон (“лишняя” связь – 1), (рис.23, а). Балка, имеющая жесткое защемление в сечении А и шарнирно – подвижная опора В (“лишняя” связь – 1), (рис.22 б). Рама, имеющая жесткое защемление в опоре А, и шарнирно-неподвижную опору В (“лишних” связей - 2). (рис.23 в).

Рис.23. Статистические неопределимые системы.

 

Для раскрытия статической неопределимости системы необходимо, прежде всего, определить степень статической неопределимости системы (n):

где  n = S - УС

S – число связей, наложенных на систему.

УС – число независимых уравнений статики.

n - означает, сколько дополнительных уравнений деформаций необходимо составить, чтобы определить реакции, которые невозможно определить при помощи одних лишь уравнений статики.

При решении статически неопределенных систем используется метод сил. Метод сил заключается в том, что “лишние” связи, равные числу n, отбрасываются, а их действие заменяется неизвестными силами и моментами в зависимости от конструкции опорного закрепления. Неизвестные реактивные силы и моменты определяются посредством составления уравнений деформаций от этих сил моментов, заведомо зная, что они равны нулю. (Пример: задача 6-пр, стр.61)

 

Вопросы к 16

 

1. Что такое статически неопределимые системы?

2. Как определить степень статической неопределимости?

3. В чем заключается метод сечений?

4. Уравнение деформаций при раскрытии статической неопределимости.

5. Порядок решения СНС.

 

 

Тесты к 16

 

16.1. При решении СНС составляют уравнения:

а) статики: 3 для плоской системы, 6 для пространственной;

б) деформаций;

в) статики и деформаций, после чего эти уравнения решают совместно.

 

16.2. Степень статической неопределимости:

а) разность между числом связей и уравнений статики;

б) сумма числа связей и уравнений статики;

в) произведение числа связей и уравнений статики.

 

16.3. Метод сил:

а) определение и анализ внешних сил;

б) замена «лишних» связей силами и моментами;

в) определение внутренних сил методом сечений.

 

16.4. Уравнения статики:

а) 3 уравнения статики для плоской системы и 6 для пространственной;

б) уравнения моментов относительно опор;

в) число неизвестных сил.

 

16.5. Может ли быть статически неопределимым вал:

а) да;

б) нет;

в) только при нагружении сосредоточенными силами.

 

 

17. Примеры решения задач

 

Задача 1

 

Для заданной схемы нагружения стержня постоянного сечения (рис. 1-пр) F=5,0 кН

1) – построить эпюры внутренних сил;

                 - построить в общем виде эпюры напряжений;

                 - определить опасный участок;

              - из условия прочности (s_max = [s]) = 120 МПа определить размер                        сечения;

                 - определить напряжения на участках стержня и построить эпюры напряжений стержня.

 2) определить размеры равнопрочного стержня и экономию материала при равнопрочном стержне.

 

           

Рис.1-пр

 

Решение.

1. Разбиваем стержень на три участка: A׳B, BC, CD.

2. Определяем внутренние силы на каждом участке стержня.

N₁ = N_(AB) =F = 5,0 kH

N₂ = N_(BC) = F-1,5F = -2,5 kH

N₃ = N_(CD) = F-1,5F+1,2F = 0,7F = 3,5kH

3. Определяем напряжения на каждом участке.

s ₍₁₎ =

s _{( II )} =

s _{( III )} =

4. Определяем опасный участок.

Опасный участок АВ, где действует сила N ₁ = N_max = F =5,0 kH

5. Из условия прочности определим площадь сечения.

  Принимаем А= 50 мм²

 

6. Определяем численные значения напряжений

s₍₁₎=

s₍₂₎=

s₍₃₎=

По полученным данным строим эпюру напряжений

 

7. Определяем перемещения на участках стержня

 

Е- модуль продольной упругости, Е= 2×10⁵ МПа (для стали)

По полученным данным строим эпюру перемещений.

8. По полученным данным определяем размеры сечений равнопрочного стержня, у которого напряжения на каждом участке s_i=[s], i = 1,2,3.

9. Определяем экономию материала в равнопрочном стержне.

Вес стержня с постоянным сечением, g - удельный вес.

Вес равнопрочного стержня.

 

 

Задача 2

Для заданной схемы нагружения вала (рис. 2-пр)

 - построить эпюры крутящих моментов;

- найти опасные сечения;

- определить диаметр вала из условия прочности;

- определить углы закручивания на участках вала, построить эпюру углов закручивания;

- проверить вал на жесткость, если [q]=1

M=50 кHм, [t]=80МПа, а=1,0 м

 

 Решение: 

1. Разбиваем вал на участки: 1-й – АВ, 2-й – ВС, 3-й – СД.      

Рассмотрим 1-й участок АВ

Проводим сечение 1-1 и рассмотрим равновесие отсеченной части и определяем крутящий момент в сечении 1-1

Мм₁ =М

Проводим сечение 2-2 и определяем крутящий момент в сечении 2-2. M_{k 2} = M -3 M =-2 M

 

рис. 2-пр

Крутящий момент в сечении 3-3

M_{k 3} = M-3M+1,5M=-0,5M

По полученным данным строим эпюру “ M_k ”

 

2. Определяем опасное сечение. Опасными сечениями являются все сечения участка 2, где M_max = [M_k] = 2 M = 100 kH м

3.Определяем диаметр вала из условия прочности

Откуда полярный момент сопротивления

=

Принимаем d=190 мм

 

;   

 

4.Определяем углы закручивания на участках вала

, где:

 

l_i – длина участка: a; 1,5а; 0,8а

G – модуль упругости при сдвиге

G = 0,8 × 10⁵ МПа

J _r - полярный момент инерции вала

J _r =

угол закручивания на участке 3:

угол закручивания на 2-ом участке:

угол закручивания на 1-ом участке:

5.Определяем относительные углы закручивания

Q₁=

Q₁<[Q]; 0,28<1

Q₂=

 

условие жесткости выполняется

6.Определим диаметр вала из условия прочности

Округляем диаметр d = 130 мм.

 Применяем диаметр вала d=190мм, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости                

 

Задача 3

 

При заданной схеме нагружения стальной балки двутаврового сечения (рис. 3-пр)

- построить эпюры Q(x) и M(x)

- определить величины заданных внешних нагрузок q, F и M.

Дано: МПа; м; двутавр №18

Решение:

1. Определяем опорные реакции

Рис. 3-пр

 

 

= 0,6а

 

        

 

2. Разбиваем балку О на 3 участка (АС; СD; DB)

Участок АС(0 £ x ₁ £ a)

Q _(x1) = R_A - q × x₁;                                        M (x ₁) = R_A × x ₁ – q × x ₁  

x₁=0; Q (0) = R_A = 0,6 q                           x₁=0; M (0) = 0

x₁=a; Q (a) = R_A – qa = 0,6 q-q =-0,4 q     x₁=a; M (a) = 0,6 q × 1- q

                                                                  Находим М _{ma x .} R_A - q =0;

                                                                 M(x₁)_max=0,6q × 0,6 -

 

Участок CD (a £ x ₂ £ 2 a)

                                        

                                                     

=            

=                                                              

 

                                                                        

 

Участок DB (0 £ x ₃ £ a)

 

                       

                   

 

По полученным результатам строим эпюры Q и M. В точке d эпюры изгибающих моментов.

,  - это опасное сечение (при а=1м).

По заданной величине допустимого напряжения [s] = 150 МПа определяем величины предельных нагрузок.

Для двутавра №18      (по таблицам сортамента)

 

kH×м

 

 

 

Задача 4

 

Для заданной схемы нагружения стержня, у которого:

l = 6 м; F = 700 kH; [s] = 160 МПа;       (рис.-4-пр)

Найти: а, F _кр

 

Рис.4-пр

Решение:

1. Определяем осевые моменты инерции:

;               

                                    

2.Определяем радиус инерции сечения:

Площадь сечения: = 0,433а²

                             = 0,204а

3.Определяем размер сечения из условий устойчивости:

- Первое приближение: принимаем j_о = 0,5

Площадь сечения:

Сторона сечения: ;

Радиус инерции сечения:

Гибкость стержня:

 

  m - коэффициент приведенной длины стержня; m = = 0,5

По таблице 1.13, Дарков и Шпиро, “Сопротивление материалов”

- j = f (l); j ₁= 0,58

 

- Второе приближение:

; 136 мм

;

 

Следовательно, при а=136 мм стержень удовлетворяет условию устойчивости.

- Определяем критическую силу:

Определяем коэффициент запаса по устойчивости:

Задача 5

 

   Для заданной схемы нагружения вала определить его диаметр из условия            прочности (рис.5-пр):

 

      Т₁ и Т₂ –силы напряжения ремней шкивов

 

Диаметры шкивов:       

 

 

Рис. 5-пр

 

;

Найти: d- диаметр вала по III^й теории прочности

 

Решение:

1. Крутящий момент от электродвигателя:

2. Определяем крутящий момент на участках вала:

3. Определяем усилия в ремнях шкивов.

          1-й шкив:

       

           2-й шкив:

4. Строим эпюры крутящих моментов и изгибающих моментов в     горизонтальной и вертикальной плоскостях (5.1-пр.).

Рис. 5.1-пр.

5. Определяем приведенный момент по III теории прочности в опасном сечении.

Опасным сечение является сечение С, где:

Определяем диаметр вала:

7.

d=

 

Принимаем диаметр d = 40мм.

 

Задача 6.

Для заданной схемы нагружения статически неопределимой системы (6-пр).

 

                                 

                               

                                      

                                     

 

1. Найти: R _E и R _A

2. Построить эпюры: N; s; D l.

 

 

Решение:

 

1. Отбрасываем опору Е и заменяем ее действие реакцией R_E

 

2. Разбиваем стержень на участки (1-й – de, 2-й – cd, 3-й – cd, 4-й – ba) и определяем внутренние силы на каждом участке

 

3. Составляем уравнение статики

                                     (1)

 

 

4. Составляем уравнение деформаций

                                                                   (2)

 

- деформация на i – том участке

                                                  i = 1,2,3,4

                    

 

                                                            

 

                                                                (3)                                                

                                         

                 

 

 

рис. 6-пр

5. Значения (3) подставляем в уравнение (2)

Сокращаем на ЕА и а

6. Подставляем R_E в уравнение (1) и определяем R_A

7. Определяем внутренние силы на участках стержня

  kH

 

  kH

  kH

  kH

8. Определяем напряжения на участках стержня

  МПа

 МПа

 МПа

                  МПа

9. Определяем перемещения на участках стержня

 

Проверка:

 

+ + 0  ∑

 

-0,143 + 0,857 + 0,429 -1,143 = 0

            0=0

 

Задача решена верно.

 

 

Задача 7

 

В опасном поперечном сечении вала, ослабленном шпоночной канавкой, возникает крутящий момент М_к = 370 Н × м, изменяющийся по пульсационному циклу и изгибающий момент М _u = 380 Н × м, изменяющийся по симметричному циклу (7-пр). Определить коэффициент запаса прочности n, для опасного сечения, сравнить с величиной допустимого коэффициента запаса [ ] =1,8

Рис. 7-пр

Диаметр вала d = 45мм

Материал вала – углеродистая сталь с механическими характеристиками:

 МПа;    МПа;   МПа            

Принимаются [7]

К_s = 1,95;                    b _Мs = 1,33;                 b _{n s} = 1,07;                                                                                                    

К_t = 1,80;                    b _Мt = 1,33;                 b _{n t} = 1,04  

 

Решение:

1. Определяем коэффициент запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям отдельно:

По нормальным напряжениям:  МПа

Так как:

 

 МПа;

Коэффициент запаса по текучести:

Принимаем меньшее значение коэффициента:

По касательным напряжениям:  МПа

2. Определяем предел выносливости при симметричном цикле:

 МПа;  МПа

Среднее напряжение и амплитуда цикла касательных напряжений:

 МПа

3. Определяем коэффициент запаса по усталостному разрушению:

 

      и

 

Коэффициент запаса текучести:

Принимаем меньшее значение запаса:

4. Окончательное значение коэффициента запаса:

 n>[n]   1,97>1,8

Запас прочности обеспечен.

18. Задачи для самостоятельного решения

1.                                                                          6.

 

 

2.                                                                           7.

 

 

 

 

3.                                                                             8.

 

 

4.                                                                              9.

5.                                                                             10.

ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

1. Балка - брус, нагруженный внешними силами, перпендикулярными его оси, и работающий главным образом на изгиб.

2. Вал - брус, нагруженный парами сил, лежащими в плоскости поперечного сечения, и работающий на кручение.

3. Внецентренное растяжение или сжатие - растяжение или сжатие стержня, при котором равнодействующая внутренних сил направлена по нормали к поперечному сечению, но не проходит через его центр тяжести.

4. Внешние силы - силы, действующие со стороны какого-либо тела или сис­темы на рассматриваемое тело или систему.

К внешним силам относятся не только активные силы (нагрузка), но и ре­акции связей или опор.

5. Внутренние силы - силы взаимодействия между мысленно рассеченными частями материального тела. Иначе: силы упругости, силы сопротивления, усилия.

6. Выносливость - способность материалов сопротивляться разрушению при действии повторно-переменных напряжений.

7. Гипотеза плоских сечений - поперечные сечения стержня, плоские до де­формации остаются плоскими и после нее.

8. Главное напряжение - нормальное напряжение, действующее на площад­ке, касательные напряжения на которой равны нулю.

9. Главные оси инерции — две взаимно перпендикулярные оси, пересекаю­щиеся в данной точке, относительно которых центробежный момент инерции площади поперечного сечения равен нулю, а осевые моменты инерции достигают экстремумов.

10. Главные площадки - три проведенные через данную точку тела взаимно перпендикулярных сечения, по которым касательные напряжения равны нулю.

11. Главный центральный момент инерции - момент инерции относительно главной центральной оси инерции.

12. Главная центральная ось инерции - главная ось инерции, проходящая че­рез центр тяжести поперечного сечения.

13. Деформация - в качественном отношении - это изменение размеров и фор­мы тела под действием внешних сил или температуры.

14. Деформированное состояние - совокупность для одной точки тела линей­ных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в раз­личных плоскостях.

15. Динамическая нагрузка- нагрузка, характеризующаяся быстрым измене­нием во времени ее значения, направления или точки приложения и вызы­вающая в элементах конструкции или в деталях машин значительные силы инерции.

16. Допускаемое напряжение - максимальное значение напряжения, которое может быть допущено в опасном сечении для обеспечения безопасности и надежности работы, необходимых в условиях эксплуатации. F = ƒ(∆ℓ)

17. Динамический коэффициент при ударе- коэффициент, на который умно­жают статическую нагрузку для определений напряжений при ударе или ус­коренном движении системы.

18. Жесткость - способность материала элементов конструкций сопротивляться образованию упругих деформаций, возникающих под действием внешних сил.

19. Изгибающий момент - пара внутренних сил, перпендикулярная к плоскости поперечного сечения.

20. Интенсивность распределительной нагрузки - распределенная нагрузка, действующая на единицу длины или площади.

21. Касательное напряжение - составляющая полного напряжения, располо­женная в плоскости сечения.

22. Консоль - балка с одним защемленным и другим свободным концом или часть балки, продолжающаяся за опору.

23 Концентрация напряжений - местное увеличение напряжений, происхо­дящее при резком изменении сечения тела.

24. Критическая сила - наименьшее значение силы, при котором происходит потеря устойчивости стержня.

25. Крутящий момент — пара внутренних сил, лежащая в плоскости попереч­ного сечения.

К крутящему моменту сводятся касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении при действии внешних пар сил, расположенных в плос­костях, перпендикулярных к центральной оси стержня.

Крутящий момент в поперечном сечении равен сумме моментов всех внешних сил по одну сторону от сечения, взятых относительно центральной оси стержня.

26. Кручение - тип простой деформации, при которой в поперечных сечениях стержня под действием внешних пар сил, расположенных в плоскостях, пер­пендикулярных к центральной оси стержня, возникают только крутящие мо­менты.

27. Линейная или осевая деформация — это относительное удлинение.

28. Линейное напряженное состояние - напряженное состояние тела, при ко­тором два из трех главных напряжений равны нулю.

29. Механическое состояние материала - поведение материала под действием механической нагрузки.

   Применительно к центральному растяжению образца из мягкой стали различают, например, следующие механические состояния материала: упру­гость, общей текучести, упрочнения, местной текучести и разрушения.

30. Нагрузка - совокупность активных внешних сил, действующих на рассматриваемое тело.

31. Наклеп - изменение структуры и свойств металлических материалов, вызванное пластической деформацией.

  Наклеп снижает пластичность, но увеличивает предел пропорциональности и предел текучести материала.

32. Напряжение - мера распределения внутренних сил в сечении, их интенсивность.

33. Напряженное состояние - совокупность нормальных и касательных на­пряжений для всего множества площадок, проходящих через точку.

34. Нормальное напряжение - составляющая полного напряжения, направленная вдоль нормали к элементарной площадке сечения, на которой дейст­вует это напряжение.

35. Объемное или сложное напряженное состояние (складний напряжений стан) - напряженное состояние, при котором каждое из трех главных напря­жений равно нулю.

36. Опасное сечение - поперечное сечение стержня, где возникают наиболь­шие напряжения, растягивающие и сжимающие.

37. От нулевой или пульсирующий цикл напряжений - изменение переменного во времени напряжения от нуля до положительного максимального значе­ния (или от нуля до отрицательного минимального значения) в течении одно­го периода.

38. Пластичность - свойство материала под действием внешних сил необратимо деформироваться без разрушения.

39. Плоский изгиб - изгиб под действием внешних сил, расположенных в одной плоскости - в плоскости симметрии стержня или в главной плоскости, проходящей через линию центров изгиба.

40. Плоское напряженное состояние - напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю.

41. Поперечное сечение - сечение стержня, перпендикулярное (нормальное) к его центральной оси.

42. Предел выносливости (предел усталости) - наибольшее значение максимального напряжения цикла, при котором не происходит усталостного раз­рушения образца из данного материала после произвольно большого числа циклов.

43. Предел пропорциональности - наибольшее напряжение, до которого применим закон Гука.

44. Предел прочности - отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец из данного материала, к начальной площади поперечного сечения образца.

45. Предел текучести - напряжение, при котором происходит быстрый рост пластической деформации без заметного увеличения нагрузки.

46. Предел упругости - наибольшее напряжение, при котором имеют место только упругие деформации.

47. Предельное состояние - состояние, при котором конструкция или соору­жение перестают удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям или требованиям при возведении.

48. Принцип независимости действия сил (принцип наложения, принцип суперпозиции, принцип сложения действия сил) - принцип, согласно которому суммарный результат, полученный одновременным действием нескольких сил, является суммой отдельных результатов, полученных действием этих сил в отдельности.

49. Принцип Сен-Венана - если систему внешних сил, действующую на небольшую часть упругого тела, заменить другой, статистически эквивалентной системой сил, действующей на ту же часть поверхности тела, то в точ­ках, удаленных от места приложения упомянутой системы на расстояния, достаточно большие по сравнению с линейными размерами этой поверхно­сти, получим практически такое же распределение напряжений и деформа­ций.

Принцип этот не применим для тонкостенных стержней.

50. Продольная сила - внутренняя сила, перпендикулярная к поперечному сечению и приложенная в его центре тяжести.

К продольной силе сводятся нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении при действии на стержень осевых сил.

Продольная сила в сечении равна сумме проекций всех внешних сил по од­ну сторону от сечения на продольную ось прямого стержня.

51. Продольно-поперечный изгиб - изгиб прямого стержня, в поперечных сечениях которого возникают изгибающие моменты, как от продольных, так и от поперечных нагрузок.

52. Пролет - вся балка или ее часть, расположенная между двумя соседними опорами.

53. Прочность - способность материала сопротивляться разрушению при действии внешних сил.

Прочность - способность материалов в определенных пределах и условиях воспринимать внешние нагрузки, не разрушаясь. Количественно прочность характеризуют напряжения (МП_а).

54. Распределенная нагрузка - нагрузка, прилагаемая непрерывно к данной поверхности или линии.

55. Расчетная модель (схема) - упрощенное изображение конструкции, а также её элементов, принимаемое для выполнения расчета.

56. Симметричный цикл напряжений - изменение переменного напряжения от минимального до максимального значения в течение одного периода, причем максимальное и минимальное напряжения равны друг другу по модулю и противоположны по знаку.

57. Смятие - пластическая деформация местного характера, возникающая на поверхности контакта при действии сжимающих сил.    

58. Сосредоточенная нагрузка — нагрузка, прилагаемая к весьма малой площади (точке).

59. Срез - разрушение, происходящее от сдвига в плоскости максимальных касательных напряжений.

60. Статическая нагрузка - нагрузка, значение, направление и место приложения которой изменяется столь незначительно, что при расчете элементов конструкций их принимают независящими от времени и поэтому пренебре­гают влиянием сил инерций, обусловленной такой нагрузкой.

61. Стержень (брус) - тело, форма которого образована движением плоской фигуры (постоянной или переменной площади), при условии, что центр тя­жести фигуры движется по некоторой линии и плоскость фигуры остается перпендикулярной к этой линии.

Другое, более просто