Линейные операции над матрицами

Понятие матрицы

 Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицыПр, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Виды матриц

 1. Прямоугольная матрица. (m не равно n(m - строки;n - столбцы));

 

 2. Квадратная матрица - матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n). При указании размерности возможны обозначения An*n, Bn.

 

 3. Треугольная-квадратная матрица - матрица, у которой ниже(выше) главной диагонали нули.

 

 

 4. Трапецивидная матрица.

 5. Диагонально-квадратная матрица - у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю.

 

 6. Единичная-диагональная матрица - матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1.

 7. Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны 0.

 

Линейные операции над матрицами

 1. Сложение и вычитание;

 

 

 2. Умножение на число.

Умножение матриц на вектор

Вектор - это тоже матрица, просто из одного столбца.

Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлен от матрицы

Операция умножения матриц определена только для согласованных матриц(Матрицы называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В).

 

Натуральная степень квадратной матрицы вычисляется по формуле: An = A·A·…·A n раз (где n - натуральное число).

Многочлена от матрицы.

 Пусть заданы многочлен (степени m) переменной λ:

f(λ)=am⋅λm+am−1⋅λm−1+…+a1⋅λ+a0,

где A — квадратная матрица n-го порядка. Выражение вида

f(A)=am⋅Am+am−1⋅Am−1+…+a1⋅A+a0⋅E - называется многочленом от матрицы A.

Транспонирования матриц

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами.

Свойства транспонированной матрицы

Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица A^T имеет размер m×n;

1.(A^T)^T = A;

2.(k · A)^T = k · A^T;

3.(A + B)^T = A^T + B^T;

4.(A · B)^T = B^T · A^T.

7. Элементарные преобразования матриц

 Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

 Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

 Элементарными преобразованиями строк называют:

1. перестановку местами любых двух строк матрицы;

2. умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;

3. прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

 Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.

Понятия обратной матрицы

Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрица A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Обычно ранг матрицы A обозначается rang A.

Понятие матрицы

 Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицыПр, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Виды матриц

 1. Прямоугольная матрица. (m не равно n(m - строки;n - столбцы));

 

 2. Квадратная матрица - матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n). При указании размерности возможны обозначения An*n, Bn.

 

 3. Треугольная-квадратная матрица - матрица, у которой ниже(выше) главной диагонали нули.

 

 

 4. Трапецивидная матрица.

 5. Диагонально-квадратная матрица - у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю.

 

 6. Единичная-диагональная матрица - матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1.

 7. Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны 0.

 

Линейные операции над матрицами

 1. Сложение и вычитание;

 

 

 2. Умножение на число.

Умножение матриц на вектор

Вектор - это тоже матрица, просто из одного столбца.