Момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Работа сил при вращательном движении. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

r

F

А

О

Mz

M

M

О

α

F

А

r

l

Момент силы F относительно неподвижной точки О - физическая величина - векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F: M = [ rF ] M - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F
Модуль момента силы M = F r sinα = Fl,
где α - угол между r и F, l - плечо силы.

 

Момент силы относительно неподвижной оси z - скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определённого относительно произвольной точки О данной оси z. При совпадении оси z с вектором M момент силы M_z = [ rF_z ].

 

Пусть сила F приложена в точке B, находящейся от оси вращения на расстоянии r, α - угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Работа силы равна работе, затраченной на поворот тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка B проходит путь ds = rdφ, и работа dA равна проекции силы на направление смещения на величину смещения:
dA = F sinα rdφ
при M = Fl = F r sinα получим: dA = M_z dφ - работа при вращении тела

B

l

α

α

αs

r

O

dA = dT - работа равна изменению кинетической энергии;
но dT = d  = J_zω dω,
поэтому M_zdφ = J_zω dω,
или M_z  = J_zω ;
с учетом ω =  получим M_z = J_z  = J_zε - уравнение динамики вращательного движения.
При совпадении оси вращения с главной осью инерции M = J

Момент импульса материальной точки и твердого тела. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса (количества движения) материальной точки А - физическая величина, определяемая векторным произведением L = [ rp ] = [ rmv ],
где r - радиус-вектор ОА; p = mv - импульс материальной точки; L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от r к p.
Модуль вектора момента импульса L = rpsinα = mvrsinα = pl,
где α - угол между векторами r и p, l - плечо вектора p относительно точки О.
Момент импульса твердого тела- сумма моментов импульса отдельных частиц

L_z =
С учетом v_i = ωr_i получим L_z =  = ω  = J_zω
В итоге L_z = J_zω
Продифференцируем по времени:  = J_z  = J_zε = M_z
В итоге  = M_z - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относително неподвижной оси.
 = M

В замкнутой системе M = 0,  = 0, следовательно L = const - закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени. Связан с изотропностью - инвариативностью законов относительно выбора направления осей координат системы отсчёта относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.

 

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний груза на пружине, математического и физического маятников, и его решение. Основные характеристики гармонических колебаний.