Законы Кирхгофа и закон ома в комплексной форме. Комплексное и полное сопротивление и проводимость

 

    Рассмотрим произвольный контур электрической цепи (рис. 1.6).

Рис. 1.6 – Контур электрической цепи

    Согласно второму закону Кирхгофа выполняется равенство:

.         (1.33)

    Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:

или же

    Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить:

или же

,                  (1.34)

то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд напряжений на элементах цепи, образующих контур, равна нулю. Это и составляет суть второго закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется совпадением или несовпадением направления напряжения с выбранным направлением обхода контура.

    Аналогичным образом рассмотрим произвольный узел электрической цепи (рис. 1.7).

Рис. 1.7 – Узел электрической цепи

    Согласно первому закону Кирхгофа выполняется равенство:

.             (1.35)

    Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:

или же

    Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить:

или же

,                 (1.36)

то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Это и составляет суть первого закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется направлением соответствующего тока ветви: знак «+» соответствует притекающим к узлу токам, а знак «-» - оттекающим от узла токам.

    Преобразуем аналогичным образом компонентные соотношения для сопротивления, индуктивности и емкости:

.    (1.37)

    Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данные равенства в виде:

    Поскольку операции взятия вещественной части, умножения на константу, дифференцирования и интегрирования являются линейными, то они являются перестановочными и данные равенства можно переписать в виде:

    Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить. Тогда после выполнения операций дифференцирования и интегрирования данные выражения принимают следующий вид:

или же

.  (1.38)

    Данные выражения отражают суть закона Ома в комплексной форме: комплексная амплитуда напряжения на данном участке электрической цепи равна произведению комплексной амплитуды тока, протекающего по данному участку, и комплексного сопротивления данного участка.

    Таким образом, комплексные сопротивления резистивного, индуктивного и емкостного элементов равны:

, , .    (1.39)

    При последовательном соединении элементов электрической цепи через них протекает один и тот же ток, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда тока. С другой стороны, напряжение на концах такого участка складывается из напряжений на отдельных элементах, а, значит, складываются и комплексные сопротивления этих элементов.

    Величина, обратная комплексному сопротивлению, носит название комплексной проводимости. Очевидно, что при параллельном соединении элементов электрической цепи напряжение на их зажимах одинаково, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда напряжения. С другой стороны, ток, притекающий к такому соединению, складывается из токов, протекающих по каждому из соединенных элементов, а, значит, складываются и комплексные проводимости этих элементов.

    Комплексные проводимости резистивного, индуктивного и емкостного элементов определяются выражениями:

, , .       (1.40)

    Введенные комплексные сопротивление и проводимость имеют определенный физический смысл. Так модуль комплексного сопротивления некоторого участка электрической цепи, который носит название полного сопротивления этого участка, определяет соотношение между амплитудой напряжения на данном участке и тока, протекающего по нему. Аргумент комплексного сопротивления определяет сдвиг фаз между напряжением на данном участке и током, протекающим по нему.

    Рассмотрим примеры расчета линейных электрических цепей в рамках метода комплексных амплитуд.

 

ПРИМЕР 1

 

    Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении и индуктивности для следующей электрической цепи:

    Анализируемую цепь можно рассматривать в качестве двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных сопротивления и индуктивности, к которому присоединен источник ЭДС.

    Комплексное входное сопротивление этого двухполюсника равно:

.

    По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:

,

где  - аргумент комплексного входного сопротивления,

,       (П1.1)

.         (П1.2)

 

ПРИМЕР 2

 

    Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении и емкости для следующей электрической цепи:

    Цепь представляет собой двухполюсник, состоящий из последовательно соединенных сопротивления и емкости, к которому присоединен источник ЭДС.

    Комплексное входное сопротивление этого двухполюсника равно:

.

    По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:

,

где  - аргумент комплексного входного сопротивления,

,             (П2.1)

.             (П2.2)

 

ПРИМЕР 3

 

    Определим в общем виде амплитуды и начальные фазы напряжений на сопротивлении, индуктивности и емкости для следующей электрической цепи:

    Находим комплексное входное сопротивление:

, или же

,

где  – реактивная составляющая комплексного входного сопротивления.

    По закону Ома находим комплексную амплитуду тока в цепи и напряжений на отдельных ее элементах:

,

где  - аргумент комплексного входного сопротивления,

,             (П3.1)

,          (П3.2)

.              (П3.3)