Линейные операции над векторами. Линейное пространство

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

§1. Векторы, основные определения

 

Опр. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).

Если А – начало, В – конец, то вектор обозначают  (или ).

 

Часто вектор обозначают одной буквой .

 

Опр. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка . Обозначают .

Опр. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуль-вектором и обозначают .

Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.

Опр. Векторы  и , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

 

Опр. Векторы  и  называются равными, если они:

1) имеют равные модули;

2) коллинеарны;

3) направлены в одну сторону.

Опр. Вектор  называется противоположным вектору , если этот вектор имеет модуль, равный модулю вектора , коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону (вектор   – не нуль-вектор).

 

                                                                                                               

Опр. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

 

Линейные операции над векторами. Линейное пространство

I. Сложение векторов

Правило треугольника

Суммой векторов  и  называется вектор , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число векторов.

 

Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.

 

 

      

 

 

Правило параллелограмма

Отложить от т. О вектор  и . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой .

 

 

II. Вычитание векторов

Опр. Разностью двух векторов  и  называется вектор , который будучи сложенным с вектором  дает вектор .

Если  то .

Из определения вытекает правило построения .

 

                                                                                    

 

направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Частный случай.

 

или

 

 

                                                                                                           

 

                                                                                             

Итак:

                                                               

                                                

 

III. Умножение вектора на число

Опр. Произведением вектора  на число λ называется вектор λ :

1) коллинеарный вектору ;

2) имеющий длину ;

3) тоже направление, что и , если , противоположное направлению , если

 

 

единичный вектор (орт) вектора , т.е.  коллинеарен , одинакового с ним направления, . Тогда

                               (3.1)

или .

 

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными.

Они обладают свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1–8, образуют линейное (векторное) пространство, которое обозначается R ³.

 

Проекция вектора на ось

 

Пусть даны: l – некоторая ось и  – произвольный вектор.

проекция А на ось l, координата  на l;

проекция B на ось l, координата  на l.

Опр. Проекцией вектора  на ось называется разность

.

 

Свойства проекций

1. Проекция вектора   на ось l равна модулю вектора  умноженному на косинус угла  между  и осью l.

где .

 

2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

    

 

3. При умножении вектора на число проекция на ось также умножается на это число.

 

4. Проекции двух равных векторов на одну и ту же ось равны.

.

III. Модуль вектора

 

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

 или .

модуль вектора .

V. Направляющие косинусы

 

Направление вектора в пространстве определяется углами  которые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е.  называются направляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

или

Тогда

 

I. Определение

Опр. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

.                                   (3.5)

Придадим (3.5) другой вид (по свойству 1 проекций).

проекция на ось, определяемую .

проекция на ось, определяемую .

                                     (3.6)

I. Определение

Опр. Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , который определяется следующим образом:

1) модуль вектора  численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах

2) вектор  перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. ,

3) направление вектора  таково, что если смотреть с его конца (вдоль вектора), то поворот по кратчайшему пути от вектора  к вектору  виден совершающимся против часовой стрелки.

 ориентированы как прав. тройка).

Обозначается:  или .

Частные случаи:

 

 

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

§1. Векторы, основные определения

 

Опр. Вектором называется направленный отрезок (отрезок, у которого различают начало и конец).

Если А – начало, В – конец, то вектор обозначают  (или ).

 

Часто вектор обозначают одной буквой .

 

Опр. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка . Обозначают .

Опр. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуль-вектором и обозначают .

Будем рассматривать только свободные векторы, т.е. те, которые можно переносить в любое место пространства, сохраняя длину и направление.

Опр. Векторы  и , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

 

Опр. Векторы  и  называются равными, если они:

1) имеют равные модули;

2) коллинеарны;

3) направлены в одну сторону.

Опр. Вектор  называется противоположным вектору , если этот вектор имеет модуль, равный модулю вектора , коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону (вектор   – не нуль-вектор).

 

                                                                                                               

Опр. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

 

Линейные операции над векторами. Линейное пространство

I. Сложение векторов

Правило треугольника

Суммой векторов  и  называется вектор , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число векторов.

 

Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.

 

 

      

 

 

Правило параллелограмма

Отложить от т. О вектор  и . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой .

 

 

II. Вычитание векторов

Опр. Разностью двух векторов  и  называется вектор , который будучи сложенным с вектором  дает вектор .

Если  то .

Из определения вытекает правило построения .

 

                                                                                    

 

направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Частный случай.

 

или

 

 

                                                                                                           

 

                                                                                             

Итак: