Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,



Числа путей передвижения фигур

 

Неторопливый король

 

Король – самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать только на соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король.

 

Задача 14. Сколькими способами король с поля е1 может добраться кратчайшим путем до поля d8?

Решение: Очевидно, что кратчайшее путешествие короля до цели занимает семь ходов, причем он может перемещаться любыми зигзагообразными путями, оставаясь при этом внутри прямоугольника e1-a5-d8-h4. Для подсчета искомого числа путей составим таблицу чисел, которые будем помещать прямо на полях доски (рис. 13). Число, стоящее на данном поле равно числу кратчайших путей до него с поля e1. На поля d2, e2 и f2 король может попасть кратчайшим путем единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях c3 и g3. На d3 за два хода король попадает двумя способами, а на e3 – тремя. В общем случае число кратчайших путей до данного поля складывается из одного, двух или трех чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали, с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы, в конце концов, заполним всю таблицу и получим, что с поля e1 до поля d8 король может добраться кратчайшим путем 357 способами.

 

Рис. 13

 

Задача 15. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

Решение: Разобьем доску на 16 квадратов (рис. 14). Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8´8 равно 16.

 

Рис. 14

 

Задача 16. Какое наименьшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они нападали на все свободные поля доски?

Решение: В каждом из девяти прямоугольников, выделенных на рис. 15, имеется одно поле (на нем стоит король), которое может быть атаковано только королем, находящимся в этом же прямоугольнике. Следовательно, для того чтобы все свободные поля доски были под угрозой, в каждом из наших девяти прямоугольников должен стоять хотя бы один король. Число девять и является решением задачи для обычной доски.

Рис. 1 5

 

Задача 17. Двое по очереди передвигают короля, стоящего на доске. Игрок, вынужденный поставить его на поле, которое король уже посетил, проигрывает. На чьей стороне победа?

Решение: Верх берет тот, кто начинает, причем при произвольном положении короля. Для этого он мысленно разбивает доску на прямоугольники 2´1. Затем первым ходом ставит короля на поле, парное исходному с королем (в том же прямоугольнике). А далее на любой ход соперника передвигает короля на парное ему поле. Таким образом, после каждой пары ходов один прямоугольник «исключается» из игры. В конце концов второму игроку придется занять поле, которое король уже посещал.

 

 

Ферзь на шахматной доске

 

Ферзь – самая сильная шахматная фигура. Существует множество задач о ферзе. Я думаю, самая распространенная из них – это задача о восьми ферзях.

 

Задача 18. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они не угрожали друг другу, то есть никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Решение: Очевидно, больше восьми ферзей расставить невозможно, тогда хотя бы на одной вертикали и горизонтали их окажется не меньше двух. Найти несколько решений несложно, одно из них показано на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Многие известные математики пытались решить эту задачу, среди них: М. Беццель, Ф.Наук, В. Аренс. Однако строгое доказательство того, что 92 расстановки исчерпывают все возможности, было получено Д. Глэшером только спустя более 100 лет после открытия этой задачи. Как уже было сказано всего решений 92, но основные из них 12. Остальные получаются при помощи симметрии.

 

Задача 19. На бесконечной доске находятся два белых ферзя и черный король. За сколько ходов белые могут поставить мат?

Решение: Оказывается, каковы бы ни были размеры доски, и как бы ни располагались в начальный момент два белых ферзя и черный король, мат дается не позднее четвертого хода! Первым ходом один из ферзей объявляет шах по вертикали; в ответ на отступление короля на одну из соседних линий вторым ходом другой ферзь зажимает короля на двух вертикалях. При этом возникает позиция подобная той, что изображена на рис. 17. На любое движение короля на третьем ходу следует соответствующий горизонтальный шах и мат следующим ходом, например 2... Крe4 3. Фc4+ Крe5 (e3) 4. Фf4

 

Рис.17

 

 

Прямолинейная ладья

 

Ладья – строгая, прямолинейная фигура. Она тоже часто встречается в математических задачах.

 

Задача 20. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски n ´ n?

 

                                              а)                                                 б)

Рис. 18

 

Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n –2)+1+1=2(n –1). Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из маршрута, приведенного на рис. 18, а; при n =8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис. 18, б).

 

Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске и числа путей передвижения фигур более сложные, чем задачи на раскрашивание и разрезание доски. Для их решения нужны более сложные расчеты и умение найти математическую закономерность в найденном ряде чисел. Здесь уже большую помощь в решении задачи может оказать умение играть в шахматы.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2020-11-28; просмотров: 554; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.79.135 (0.021 с.)