Задачи на разрезание шахматной доски



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задачи на разрезание шахматной доски



 

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.

Задача 5. Разрежьте изображённую на рисунке 5,а доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

Решение : рис.5,б.

 

            

а)                                                   б)

Рис. 5

 

Задача 6. Четыре алмаза.

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза – на те поля, на которых был заматован его король (рис.6, где вместо алмазов изображены кони).

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом.

 

Рис. 6

 

Условие задачи: Разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.

Решение: Одно из решений задачи представлено на рис.6. Располагая четырех коней на различных полях доски, можно получить множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений (800) задача имеет при расположении коней в углах доски.

 

Задача 7. На какое максимальное число частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении.

 

                                                  а)                                                 б)

Рис. 7

 

Решение: Максимальное число частей равно 18. На рис.7 представлены два разреза. Решение на рис.7,а принадлежит Лойду; особенность его состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис.7,б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис.7,а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

 

Задача 8. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одним разрезом?

Решение:Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых – девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис.8 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток.

 

                                           Рис. 8                                           Рис. 9

 

Задача 9. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?

Решение:Семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других – в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис.9).

Шахматная доска и домино

 

Задачи про шахматную доску и домино можно считать частным случаем задач на разрезание доски.

Задача 10. Можно ли целиком покрыть домино квадрат 8 ´8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки (рис. 10,а)?

 

                                              a )                                                 б)

Рис. 10

 

Решение:Предполагается, что каждое домино имеет размеры 2´1 и покрывает два соседних поля доски, а каждое поле покрывается одной половинкой домино. Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще.Окрасим урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и h1 (рис.10,б). При любом покрытии доски каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических головоломок.

 

Задача 11. Пусть на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть оставшуюся часть доски 31 домино?

Решение:Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию, как показано на рис.11. Если из доски вырезаны соседние поля, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета полей чередуются. Если мы станем размещать домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если вырезанные поля не являются соседними, то линия разорвется на две части, проходящие через четное число полей, и каждую из них можно покрыть домино.

 

Рис. 11

Задача 12. Пусть из шахматной доски вырезано некоторое количество полей. При каком наименьшем числе таких полей на оставшуюся часть доски нельзя поместить ни одного домино?

Решение:Достаточно вырезать из доски 32 поля одного цвета – либо белые, либо черные, и на ней не останется места ни для одного домино.

 

Задача 13. Можно ли покрыть шахматную доску 21 прямым тримино и одним мономино? Если можно, то какие поля занимает при этом мономино?

 

                                                 а)                                            б)

Рис. 12

 

Решение:Одно из покрытий показано на рис. 12,а. Для определения возможных расположений мономино проведем на доске две системы параллельных прямых, как показано на рис. 12,б. Легко убедиться, что при любом покрытии доски каждое тримино покрывает ровно одно поле, через которое проходит сплошная прямая, и ровно одно, через которое проходит пунктирная прямая. Поскольку число полей, пересекаемых сплошными прямыми, равно 22, как и число полей, пересекаемых пунктирными прямыми, а тримино имеется 21, то мономино может занимать лишь поля, пересекаемые обоими семействами прямых. А таких полей всего четыре: c3, c6, f3 и f6. Поворачивая доску на 90°, 180° и 270°, можно получить соответствующее покрытие для каждого из этих четырех полей.

 

Задачи на раскрашивание и разрезание доски, по-моему, самые легкие математические шахматные задачи. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужны небольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгие логические рассуждения.

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2020-11-28; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.219.62 (0.009 с.)