Цепь «резистор – конденсатор включены последовательно»

Цепь «резистор – конденсатор включены последовательно»

Рассмотрим электрическую цепь, изображённую на рис.39,а. В этой цепи последовательно соединены идеальный источник напряжения резистор и конденсатор. Параллельно резистору и конденсатору подключены два вольтметра, и последовательно в цепь включён амперметр.

Рис.39. Последовательно соединённые в электрической цепи

резистор и конденсатор.

 

Направление тока выбрано совпадающим с положительной полуволной синусоидальной ЭДС Ė. Так как цепь замкнута и не имеет ответвлений (замкнутый контур), то применим второй закон Кирхгофа:

Ė = Ů _R +Ů _C

Заменим, согласно закона Ома, Ů₁ и Ů₂ на  İ· R ₁ и İ· X_C, тогда

Ė = İ· R + İ· X_C = İ·Ż.

Предположим, что  İ= I · e^{j 0}, тогда

Ė = U = I · e^{j 0} · R + I · e^{j 0} · X_C = U_Rm · e^{j 0} + U_Cm · e^{j -90°} = U_Rm · sin 0 ° + U_Cm · sin -90 °= U_Rm · sin 0 ° + U_Cm · cos 0 °

(так как напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90°).

Для того, чтобы узнать суммарное напряжение в цепи напряжение просуммируем графически напряжение на резисторе и конденсаторе.

Для этого отложим на оси реальных значений (оси абсцисс) в масштабе величину тока İ, затем на это же оси величинунапряжения Ů _R, так как это напряжение совпадает по фазе с током, протекающим в цепи. Так как напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90° (так как отстаёт, значит - угол -90°), то отложим  Ů _C  по оси мнимых чисел (оси ординат) вниз (см. Рис.39,б). Помним, что I и  II квадранты для положительных мнимых чисел,  III и IV квадранты для отрицательных мнимых чисел.

Таким образом, мы видим, что суммарное напряжение Ů  отстаёт по фазе на меньший угол, по сравнению с цепью с одним конденсатором.

Что же покажут приборы? Приборы покажут действующие значения напряжений и токов. Вольтметр U_R покажет 0,707· I_m · R = 0,707· U_Rm, вольтметр U_C покажет 0,707· I_m · X_C = 0,707· U_Cm, то есть они покажут значения напряжений без учёта фаз. Вольтметр U покажет U =√(U_R ² + U_C ²).

Напряжение U  будет равно U =√(U_R ² + U_C ²), а угол ψ = arctgX_C / R то есть модуль напряжения U e^{j -ψ}.

Определим мощности, выделяемые на резисторе и конденсаторе:

На резисторе будет выделяться активная мощность P = I ² · R и  на конденсаторе будет выделяться реактивная мощность Q = I ² · X_C. И тогда полная мощность – Ṡ = S · e^jψ, где: S =√(P ² + Q ²). При переменном токе также определяют коэффициент мощности - cos φ = = P / Q.

Задача.

Определить ток, падение напряжения, мощность, выделяемую на элементах схемы (см. рис.39), если   İ = 0,705 · e^{j 0}, R = 200 Ом, C = 30 мкФ, f = 50Гц.

Определим модуль реактивного сопротивления X_C =1/(2·π· f · C)= 1/([Гц]·[Ф])= [Ом] 1/(2·3,14·50·0,00003)=106 Ом, тогда Ẋ _C =106 · e^{j -90°} Ом. Здесь величину ёмкости конденсатора перевёл из мкФ в Ф, 30 мкФ=30·0,000001=0,00003 Ф.

Определим действующую величину тока I = I_m ·0,707= 0,705·0,707=0,498≈0,5 А.

Определим падения напряжения на элементах:

- на R падение напряжения U_R = I · R = I · R = [А]·[Ом] = [В] = 0,5·200=100 В, амплитудное значение U_Rm =1,41 · U_R = 1,41·100=141 В.

- на C падение напряжения U_C = I · X_C = [А]·[Ом] = [В] = 0,5·106=53В, амплитудное значение U_Cm =1,41 · U_C = 1,41·53=74,7 В..

- определим модуль результирующего напряжения U =√(U_R ² + U_C ²)= √(100²+53²) ≈ ≈113,2 В, U_m =√(U_Rm ² + U_Cm ²)= √(141²+74,7²) ≈159,6 В, ψ = arctg X_C / R = arctg106/200 = arctg 0,53 =31°

Теперь можно построить треугольник напряжений (вектор напряжения на конденсаторе направлен вниз потому, что напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90°). Длина векторов равна амплитудным значениям токов и напряжений.

Рис. 40 Треугольник напряжений.

Определим мощности, выделяемые на элементах цепи:

- мощность на активном резисторе R  равна P = I ² · R = [А]²·[Ом] = [Вт] = 0,5²·200=50 Вт;

- мощность на конденсаторе C  равна Q = I ² · X_C = [А]²·[Ом] = [вар] = 0,5²·106=26,5 вар;

- полная мощность S =√(P ² + Q ²) = √(50²+26,5²) = 56,59 ВА;

- определяем коэффициент мощности cos φ = P / S = 50/56,59=0,88.

цепь «резистор – конденсатор включены последовательно»

Рассмотрим электрическую цепь, изображённую на рис.39,а. В этой цепи последовательно соединены идеальный источник напряжения резистор и конденсатор. Параллельно резистору и конденсатору подключены два вольтметра, и последовательно в цепь включён амперметр.

Рис.39. Последовательно соединённые в электрической цепи

резистор и конденсатор.

 

Направление тока выбрано совпадающим с положительной полуволной синусоидальной ЭДС Ė. Так как цепь замкнута и не имеет ответвлений (замкнутый контур), то применим второй закон Кирхгофа:

Ė = Ů _R +Ů _C

Заменим, согласно закона Ома, Ů₁ и Ů₂ на  İ· R ₁ и İ· X_C, тогда

Ė = İ· R + İ· X_C = İ·Ż.

Предположим, что  İ= I · e^{j 0}, тогда

Ė = U = I · e^{j 0} · R + I · e^{j 0} · X_C = U_Rm · e^{j 0} + U_Cm · e^{j -90°} = U_Rm · sin 0 ° + U_Cm · sin -90 °= U_Rm · sin 0 ° + U_Cm · cos 0 °

(так как напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90°).

Для того, чтобы узнать суммарное напряжение в цепи напряжение просуммируем графически напряжение на резисторе и конденсаторе.

Для этого отложим на оси реальных значений (оси абсцисс) в масштабе величину тока İ, затем на это же оси величинунапряжения Ů _R, так как это напряжение совпадает по фазе с током, протекающим в цепи. Так как напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90° (так как отстаёт, значит - угол -90°), то отложим  Ů _C  по оси мнимых чисел (оси ординат) вниз (см. Рис.39,б). Помним, что I и  II квадранты для положительных мнимых чисел,  III и IV квадранты для отрицательных мнимых чисел.

Таким образом, мы видим, что суммарное напряжение Ů  отстаёт по фазе на меньший угол, по сравнению с цепью с одним конденсатором.

Что же покажут приборы? Приборы покажут действующие значения напряжений и токов. Вольтметр U_R покажет 0,707· I_m · R = 0,707· U_Rm, вольтметр U_C покажет 0,707· I_m · X_C = 0,707· U_Cm, то есть они покажут значения напряжений без учёта фаз. Вольтметр U покажет U =√(U_R ² + U_C ²).

Напряжение U  будет равно U =√(U_R ² + U_C ²), а угол ψ = arctgX_C / R то есть модуль напряжения U e^{j -ψ}.

Определим мощности, выделяемые на резисторе и конденсаторе:

На резисторе будет выделяться активная мощность P = I ² · R и  на конденсаторе будет выделяться реактивная мощность Q = I ² · X_C. И тогда полная мощность – Ṡ = S · e^jψ, где: S =√(P ² + Q ²). При переменном токе также определяют коэффициент мощности - cos φ = = P / Q.

Задача.

Определить ток, падение напряжения, мощность, выделяемую на элементах схемы (см. рис.39), если   İ = 0,705 · e^{j 0}, R = 200 Ом, C = 30 мкФ, f = 50Гц.

Определим модуль реактивного сопротивления X_C =1/(2·π· f · C)= 1/([Гц]·[Ф])= [Ом] 1/(2·3,14·50·0,00003)=106 Ом, тогда Ẋ _C =106 · e^{j -90°} Ом. Здесь величину ёмкости конденсатора перевёл из мкФ в Ф, 30 мкФ=30·0,000001=0,00003 Ф.

Определим действующую величину тока I = I_m ·0,707= 0,705·0,707=0,498≈0,5 А.

Определим падения напряжения на элементах:

- на R падение напряжения U_R = I · R = I · R = [А]·[Ом] = [В] = 0,5·200=100 В, амплитудное значение U_Rm =1,41 · U_R = 1,41·100=141 В.

- на C падение напряжения U_C = I · X_C = [А]·[Ом] = [В] = 0,5·106=53В, амплитудное значение U_Cm =1,41 · U_C = 1,41·53=74,7 В..

- определим модуль результирующего напряжения U =√(U_R ² + U_C ²)= √(100²+53²) ≈ ≈113,2 В, U_m =√(U_Rm ² + U_Cm ²)= √(141²+74,7²) ≈159,6 В, ψ = arctg X_C / R = arctg106/200 = arctg 0,53 =31°

Теперь можно построить треугольник напряжений (вектор напряжения на конденсаторе направлен вниз потому, что напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на угол 90°). Длина векторов равна амплитудным значениям токов и напряжений.

Рис. 40 Треугольник напряжений.

Определим мощности, выделяемые на элементах цепи:

- мощность на активном резисторе R  равна P = I ² · R = [А]²·[Ом] = [Вт] = 0,5²·200=50 Вт;

- мощность на конденсаторе C  равна Q = I ² · X_C = [А]²·[Ом] = [вар] = 0,5²·106=26,5 вар;

- полная мощность S =√(P ² + Q ²) = √(50²+26,5²) = 56,59 ВА;

- определяем коэффициент мощности cos φ = P / S = 50/56,59=0,88.