Понятие квадратичной функции

Авторы:

учащиеся 8 «Б» класса
Травницкий Роман
Хайдуков Артём
Пурцезов Владислав

 

Руководители:

Милякова Т.И.

Веденькина Н.В.

 

 

г. Первомайск

2016 г.

Оглавление

1. Введение……………………………………………………………………………...3

2. Исторические сведения……………………………………………………………...5

3. Понятие квадратичной функции……………………………………………………7

3.1. Правила преобразования исходного графика y=f(x)………………………...7

3.2. Графический способ решения квадратного уравнения……………………..7

3.3. Графический способ решения квадратного неравенства…………………...8

3.4. ОГЭ. Решение уравнения с параметром……………………………………..8

3.5. ЕГЭ. Решение прикладных задач…………………………………………….9

4. Квадратичная функция в жизнедеятельности человека…………………………10

5.  Создание презентации……………………………………………………………..12

5.1. Что такое презентация…………………………………………………………12

5.2. Создание презентации «Понятие квадратичной функции»………………...13

6. Заключение и выводы……………………………………………………………...16

7. Литература…………………………………………………………………………..17

8. Приложения…………………………………………………………………………18

 

 

 

Введение

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далёкие от неё области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические задания, и определённый стиль мышления, вырабатываемой математикой.

Актуальность нашей работы связана с компьютеризацией общества, требующей математической грамотности, логического мышления. Работа направлена на повышение интереса к изучению предметов математика и информатика, успешного усвоения одноклассниками темы «Квадратичная функция» и подготовку к ОГЭ.

Гипотеза: квадратичная функция имеет прикладной характер.

Цели:

1. Предоставить одноклассникам возможность реализовать свой интерес к математике и информатике;

2. Показать применение свойств квадратичной функции к решению квадратных уравнений и неравенств;

3. Рассмотреть, как используется квадратичная функция в жизнедеятельности человека;

4.  Создать презентацию «Понятие квадратичной функции».

Задачи:

1. Научиться решать квадратные уравнения и неравенства с помощью графика квадратичной функции;

2. Создать условия для подготовки к ОГЭ;

3. Показать область применения квадратичной функции.

Методы исследования:

1. Теоритический (анализ специальной литературы по проблеме, материалов, полученных из информационных источников в сети Интернет, учебника геометрии).

2. Наблюдение (получение информации о свойствах и отношениях исследуемых объектов).

 

 

Исторические сведения

Как образно заметил великий Г.Галилей (1564-1642гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы - математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процедуры движения, изменения, присущие природе.

   Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р.Декарта  «Геометрия» (1637г.), и ее появление послужило, по словам Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в нее вошли движения,  диалектика. Без переменных величин Ньютон не смог бы рассчитывать траекторию движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Например, каждый человек имеет имя. Другими словами, каждому человеку соответствует определенное имя, Поэтому можно говорить, что мы имеем функцию: областью «значения» независимой переменной здесь служит множество всех людей (имеющих имя), а множество «значений» функции – множество всевозможных имен.

  Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие, некоторый объект из другого класса – области возможных значений функции.

На математическом языке определение функции выглядит следующим образом: функцией называется зависимость, при которой каждому значению x, из некоторого множества чисел, по определенному правилу (закону), поставлено в соответствие   единственное значение y.

   Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z,... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c,... и т. д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

y=f(x) Эта запись читается так: «игрек равен эф от икс»

 

 

Создание презентации

Что такое презентация

Презента́ция (от лат. praesento — представление) — документ или комплект документов, предназначенный для представления чего-либо (организации, проекта, продукта и т.п.). Цель презентации — донести до аудитории полноценную информацию об объекте презентации в удобной форме.

Презентация может представлять собой сочетание текста, гипертекстовых ссылок, компьютерной анимации, графики, видео, музыки и звукового ряда (но не обязательно всё вместе), которые организованы в единую среду. Кроме того, презентация имеет сюжет, сценарий и структуру, организованную для удобного восприятия информации. Отличительной особенностью презентации является её интерактивность, то есть создаваемая для пользователя возможность взаимодействия через элементы управления.

В зависимости от места использования презентации различаются определенными особенностями.

· Презентация, созданная для самостоятельного изучения, может содержать все присущие ей элементы, иметь разветвленную структуру и рассматривать объект презентации со всех сторон. Реализуется, как правило, с использованием элементов гипертекста.

· Презентация, созданная для поддержки какого-либо мероприятия или события отличается большей минималистичностью и простотой в плане наличия мультимедиа и элементов дистанционного управления, обычно не содержит текста, так как текст проговаривается ведущим, и служит для наглядного представления его слов.

· Презентация, созданная для видеодемонстрации, не содержит интерактивных элементов, включает в себя видеоролик об объекте презентации, может содержать также текст и аудиодорожку. Разновидностью такой презентации является рекламный ролик.

· Учебная презентация, созданная для проведения занятия в образовательном учреждении. Вместе с учебной презентаций обычно используется конспект урока.

 

Заключение и выводы

Мы совершили экскурс в историю возникновения функции.

• Показали применение квадратичной функции в изучении математики.

• Исследовали применение квадратичной функции в жизни человека.

• Рассмотрели квадратичную функцию как интеллектуальной досуг и пришли к выводу, что функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира, а потому квадратичная функция имеет огромное прикладное значение.

• Создали презентацию «Понятие квадратичной функции»

 

Литература

1) Алгебра 8 класс: учебник для образовательных учреждений/ [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.] – 18-е издание – М.: Просвещение

2) «Википедия» http://wikipedia.org

3) Математика «Красавицы функции и их графики»/ [Н.П.Токарчук]

4) Примеры с параметрами и их решение/ [В.С.Крамор]

5) «Решу ЕГЭ» http://ege.sdamgia.ru/

6) «Решу ОГЭ» http://oge.sdamgia.ru/

 

Приложение 1

 

Таб.1

	-3	-2	-1	0	1	2	3
	9	4	1	0	1	4	9

 

Рис.1

 

Рис.2

 

 

                                

           Рис.3                                                             Рис.4

                                          

            

                                                         

                Рис.5                                                                   Рис.6

 

              Рис.7

 

                                                         Рис.8

 

Авторы:

учащиеся 8 «Б» класса
Травницкий Роман
Хайдуков Артём
Пурцезов Владислав

 

Руководители:

Милякова Т.И.

Веденькина Н.В.

 

 

г. Первомайск

2016 г.

Оглавление

1. Введение……………………………………………………………………………...3

2. Исторические сведения……………………………………………………………...5

3. Понятие квадратичной функции……………………………………………………7

3.1. Правила преобразования исходного графика y=f(x)………………………...7

3.2. Графический способ решения квадратного уравнения……………………..7

3.3. Графический способ решения квадратного неравенства…………………...8

3.4. ОГЭ. Решение уравнения с параметром……………………………………..8

3.5. ЕГЭ. Решение прикладных задач…………………………………………….9

4. Квадратичная функция в жизнедеятельности человека…………………………10

5.  Создание презентации……………………………………………………………..12

5.1. Что такое презентация…………………………………………………………12

5.2. Создание презентации «Понятие квадратичной функции»………………...13

6. Заключение и выводы……………………………………………………………...16

7. Литература…………………………………………………………………………..17

8. Приложения…………………………………………………………………………18

 

 

 

Введение

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далёкие от неё области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические задания, и определённый стиль мышления, вырабатываемой математикой.

Актуальность нашей работы связана с компьютеризацией общества, требующей математической грамотности, логического мышления. Работа направлена на повышение интереса к изучению предметов математика и информатика, успешного усвоения одноклассниками темы «Квадратичная функция» и подготовку к ОГЭ.

Гипотеза: квадратичная функция имеет прикладной характер.

Цели:

1. Предоставить одноклассникам возможность реализовать свой интерес к математике и информатике;

2. Показать применение свойств квадратичной функции к решению квадратных уравнений и неравенств;

3. Рассмотреть, как используется квадратичная функция в жизнедеятельности человека;

4.  Создать презентацию «Понятие квадратичной функции».

Задачи:

1. Научиться решать квадратные уравнения и неравенства с помощью графика квадратичной функции;

2. Создать условия для подготовки к ОГЭ;

3. Показать область применения квадратичной функции.

Методы исследования:

1. Теоритический (анализ специальной литературы по проблеме, материалов, полученных из информационных источников в сети Интернет, учебника геометрии).

2. Наблюдение (получение информации о свойствах и отношениях исследуемых объектов).

 

 

Исторические сведения

Как образно заметил великий Г.Галилей (1564-1642гг.), книга природы написана на математическом языке, и ее буквы - математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процедуры движения, изменения, присущие природе.

   Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р.Декарта  «Геометрия» (1637г.), и ее появление послужило, по словам Энгельса, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в нее вошли движения,  диалектика. Без переменных величин Ньютон не смог бы рассчитывать траекторию движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Например, каждый человек имеет имя. Другими словами, каждому человеку соответствует определенное имя, Поэтому можно говорить, что мы имеем функцию: областью «значения» независимой переменной здесь служит множество всех людей (имеющих имя), а множество «значений» функции – множество всевозможных имен.

  Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие, некоторый объект из другого класса – области возможных значений функции.

На математическом языке определение функции выглядит следующим образом: функцией называется зависимость, при которой каждому значению x, из некоторого множества чисел, по определенному правилу (закону), поставлено в соответствие   единственное значение y.

   Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z,... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c,... и т. д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

y=f(x) Эта запись читается так: «игрек равен эф от икс»

 

 

Понятие квадратичной функции

Определение:

функция вида ,где ≠0, a, b, c - заданные числа называется квадратичной функцией.

См. таб.1.

См. рис.1.

 

 3.1. Расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Если a >0, D >0, то ветви параболы направлены вверх и уравнение имеет 2 корня.

Если a >0, D =0, то ветви параболы направлены вверх и уравнение имеет 1 корень.

Если a >0, D <0, то ветви параболы направлены вверх и уравнение не имеет корней.

Если a <0, D >0, то ветви параболы направлены вниз и уравнение имеет 2 корня.

Если a <0, D =0, то ветви параболы направлены вверх и уравнение имеет 1 корень.

Если a >0, D <0, то ветви параболы направлены вверх и уравнение не имеет корней.

 

3.2. Правила преобразования исходного графика y = f (x)

а)  – сдвиг по оси Oy на  единиц вверх, если >0 ( =4), или вниз, если <0 ( = -4);

б) - сдвиг по оси Ox на  единиц влево, если >0, или вправо, если <0;

в) , k>0 – растяжение в k раз (при k>1), или сжатие в k раз (при k<1) вдоль оси ординат;

г) , k>0, сжатие в k раз (при k>1) или растяжение в k раз (при k<1) вдоль оси абcцисс;

д) - симметричное отражение графика относительно оси Ox;

е)  – симметричное отражение графика относительно оси Oy;

ж) -замена части графика, лежащих ниже оси Ox, отражением относительно этой оси части, лежащей правее оси Oy, с сохранением правой части графика;

з)  - замена части графика, лежащей левее оси Oy, отражение относительно этой оси части, лежащей правее оси Oy, с сохранением правой части графика;