Округление натуральных чисел.

Сравнение натуральных чисел

Правила сравнения:

1) При сравнении двух натуральных чисел больше то, цифр в котором больше.

345 > 76, 198 < 1 110, 12 345 > 9 999

2) Если же при сравнении чисел количество цифр совпадает, то сравниваются разрядные единицы, начиная со старшего разряда. Больше то число, у которого цифра старшего разряда больше.

628 > 311, 1 283 < 1 417, 35 > 29, 125 < 152

Округление натуральных чисел.

Округлить натуральное число – это значит отбросить одну или несколько цифр младших разрядов, заменив их нулями. Приближённое значение числа – это число, полученное при округлении.

Цифра разряда, до которого выполняется округление остается без изменения, если в округленном числе за ней следует одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В остальных случаях к ней прибавляется ЕДИНИЦА.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.: если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единиц; если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Записывают результат округления после специального знака «≈». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.

1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

2. Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.

3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1.

Пример: округлить

до разряда тысяч число: и до разряда сотен

 

Деление с остатком.

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

a: b = c (d остаток), причем d < b.

 

                   делимое  делитель неполное частное

Запомните!!! Остаток всегда меньше делителя!!!

 

Пример: 15:4=3 (3 остаток), 34:8=4 (2 остаток), 497:4=124 (1 остаток).

 

Чтобы выполнить проверку при делении с остатком, необходимо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток: a = b × c + d.

Пример: 29:4=7 (1 остаток). Проверка: 29=4×7+1=28+1=29.

Уравнения.

Уравнение – это равенство, в котором есть хотя бы одна переменная.

Решить уравнение с одной переменной – это значит найти число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Прямая. Отрезок. Луч.

Математический язык – это язык цифр, знаков, действий, символов, рисунков и чертежей.

ГЕОМЕТРИЯ – это раздел математики, который изучает свойства фигур.

Прямая – это линия, которая не имеет начала и конца.

                                                        а                       А

                                                                                                      В

 

На рис. изображена прямая а и прямая АВ.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками этой прямой.

На рис. изображен отрезок АВ.

Сравнение отрезков.

1. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.

2. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить.

 

Ломаная – это последовательное соединение отрезков, где отрезок – это звенья, а концы отрезков – это вершины.

Длина ломаной – это сумма длин всех звеньев ломаной.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны какой-либо точкой этой прямой.

Координатный луч.

 

Координатный луч – это луч, на котором задано начало отсчета и показано направления увеличения чисел.

 

Координата точки – это число, которое соответствует точке координатного луча.

 

Геометрические фигуры.

Прямоугольник –это четырехугольник, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

                                           А                                   В

                                      D                                    C

На рисунке изображен квадрат АВСD и диагонали прямоугольника ВС и АD.

В любом прямоугольнике есть две диагонали.

Диагональ – это отрезок, соединяющий две не соседние вершины. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

                                            А               В

                                       D                 C

Фигуры равны, если при наложении их можно полностью совместить.

 

Окружность – это геометрическая фигура, каждая точка которой равноудалена от одной точки – центра.

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Радиус обозначается буквой r.

Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Диаметр окружности обозначается буквой d.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

ЦИРКУЛЬ – инструмент для черчения окружностей и дуг окружностей

 

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), имеющими одно начало (вершина угла).

Развернутый угол – это угол, стороны которого образуют прямую. Лучи, с помощью которых образован развернутый угол, называются дополнительными или противоположными.

ТРАНСПОРТИР – это инструмент, измеряющий углы.

Единица измерения углов – градус. Развернутый угол равен 180°.

Обозначение 1°, 1°=  развернутого угла.

Прямой угол – это угол, величина которого равна 90°

Острый угол – это угол, величина которого меньше 90°

Тупой угол – это угол, величина которого больше 90°

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла.

Каждая точка биссектрисы угла находится на одном расстоянии от сторон этого угла.

 

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Равнобедренный треугольник – это треугольник у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правило треугольника

Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим : АВ< AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC

Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне под прямым углом.

h – высота

Формула площади треугольника:

Свойства углов треугольника

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2) Сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 180°.

3) Сумма углов любого треугольника равна 180°.

4) В равностороннем треугольники все углы равны 60°.

5) Против большего угла лежит большая сторона и, наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

6) Против меньшего угла лежит меньшая сторона и, наоборот, против меньшей стороны лежит меньший угол.

 

Формулы.

Формула – это равенство, представляющее собой запись правила вычисления значений какой-либо величины.

1) Формула периметра прямоугольника: Р=2(а+ b), где а и b – стороны прямоугольника.

2) Формула площади прямоугольника: S = a × b, где а и b – стороны прямоугольника.

3) Формула периметра квадрата: Р=4а, где а – сторона квадрата.

4) Формула площади квадрата: S = a ×а, где а – сторона квадрата.

5) Формулы нахождения пути, скорости и времени: S = V × t, V = S: tt = S: V, где S – путь, V – скорость, t – время.

6) Формула нахождения скорости сближения при одновременном движении навстречу друг другу: V = V ₁ + V ₂

7) Формула нахождения скорости удаления при одновременном движении друг от друга: V = V ₁ + V ₂

8) Формула нахождения скорости сближения при одновременном движении в одну сторону: V = V ₂ - V ₁

9) Формула нахождения скорости удаления при одновременном движении в одну сторону: V = V ₂ - V ₁

10) Формула нахождения времени, через которое один объект догонит другой при движении в одну сторону: t = S:(V ₂ - V ₁).

11) Формула нахождения времени, через которое один объект догонит другой при движении в одну сторону: t = S:(V ₁ + V ₂).

12) Формула нахождения пути, пройденного по реке по течению реки:

S =(V _лодки + V _{течения})× t, где S – путь, пройденной лодкой (катером, теплоходом), V_лодки – собственная скорость лодки, V_{течения} – скорость течения реки, t – время.

13) Формула нахождения пути, при движении по реке против течения реки:

S =(V _лодки - V _{течения})× t, где S – путь, пройденной лодкой (катером, теплоходом), V_лодки – собственная скорость лодки, V_{течения} – скорость течения реки, t – время.

14) Формула нахождения стоимости товара: C = а ∙ n, где С – стоимость товара, а – его цена (то есть стоимость единицы товара – 1 штуки, 1 метра, 1 килограмма, 1 литра и т. д.), а n – количество товара.

15) Формулы нахождения радиуса и диаметра круга: где r – радиус окружности, d – диаметр окружности.

16) Формула площади треугольника: , где а – сторона треугольника, а - высота треугольника, опущенная на сторону а.

17) Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abc, где a, b, c –высота, ширина и длина.

Обыкновенные дроби.

Обыкновенная дробь – это частное двух чисел, записанное определенным образом с помощью горизонтальной линии.

Правила нахождения дроби:

1) Чтобы получить дробь , надо число а разделить на число b.

2) Чтобы получить дробь , надо единицу (целое) разделить на b равных частей и взять а таких частей.

Основное свойство дроби.

1) Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме) нуля, то величина дроби не изменится: .

Пример:

2) Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме) нуля, то величина дроби не изменится: .

Пример:

Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число.

Пример:

Дробь, в которой числитель равен знаменателю, равна единице:

Сравнение дробей.

Правило 1: При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, числитель которой больше.

Пример: сравнить две д роби: . Так как 4>2, то .

Правило 2: При сравнении дробей с одинаковыми числителями, больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Пример: сравнить две д роби: . Так как 15<17, то .

Правило 3: При сравнении дробей с разными знаменателями, надо:

1) Привести дроби к общему знаменателю;

2) Сравнить полученные дроби по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

3) Сравнить данные дроби.

Пример: сравнить две дроби: Приведем дроби к общему знаменателю.

. Сравним полученные дроби: . Сравним данные дроби:

Правильная дробь – это дробь, числитель которой меньше знаменателя:

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя.

>

Смешанное число – это число, которое содержит в себе целую часть и правильную дробь.

Десятичные дроби.

Десятичная дробь – это разновидность дроби, в записи которой используется запятая.

Пример: 2,3 (две целых три десятых);13,25 (тринадцать целых, двадцать пять сотых); 3,126 (три целых сто двадцать шесть тысячных) и т.д.

Правила умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.:

1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 100 и т.д., надо запятую перенести вправо на 1, 2, 3, и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать справа нули;

2) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 100 и т.д., надо запятую перенести влево на 1, 2, 3, и т.д. цифры, а если цифр не хватает, приписать слева нули;

Пример: 0,043×100= ; 0,043:100=

Степень числа.

 

Выражение 4⁶ называют степенью числа и произносят «четыре в шестой степени», где:

· 4 - основание степени;

· 6 - показатель степени.

Выражение aⁿ называется степенью числа, где а – основание степени, n - основание.

Запись aⁿ читается так: «а в степени n» или «а в энной степени».

Исключение составляют:

· a² - её можно произносить как «а в квадрате»;

· a³ - её можно произносить как «а в кубе».

· Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0): a¹ = a; a⁰ = 1; 0ⁿ = 0; 1ⁿ = 1.

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

· 32⁰ = 1

· 0²⁵³ = 0

· 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.

· 5³ = 5 • 5 • 5 = 125

· 2.5² = 2.5 • 2.5 = 6.25

 

 

Процент

Процент – это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.

1% = , при этом 1 = 100%

· Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Пример:

· Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Пример: 0,14=0,14 ∙ 100% = 14%;  0,07=0,07 ∙ 100% = 7%

· Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь.

Пример:

 

Сравнение натуральных чисел

Правила сравнения:

1) При сравнении двух натуральных чисел больше то, цифр в котором больше.

345 > 76, 198 < 1 110, 12 345 > 9 999

2) Если же при сравнении чисел количество цифр совпадает, то сравниваются разрядные единицы, начиная со старшего разряда. Больше то число, у которого цифра старшего разряда больше.

628 > 311, 1 283 < 1 417, 35 > 29, 125 < 152

Округление натуральных чисел.

Округлить натуральное число – это значит отбросить одну или несколько цифр младших разрядов, заменив их нулями. Приближённое значение числа – это число, полученное при округлении.

Цифра разряда, до которого выполняется округление остается без изменения, если в округленном числе за ней следует одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В остальных случаях к ней прибавляется ЕДИНИЦА.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.: если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единиц; если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Записывают результат округления после специального знака «≈». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления.

1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

2. Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.

3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1.

Пример: округлить

до разряда тысяч число: и до разряда сотен

 

Деление с остатком.

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

a: b = c (d остаток), причем d < b.

 

                   делимое  делитель неполное частное

Запомните!!! Остаток всегда меньше делителя!!!

 

Пример: 15:4=3 (3 остаток), 34:8=4 (2 остаток), 497:4=124 (1 остаток).

 

Чтобы выполнить проверку при делении с остатком, необходимо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток: a = b × c + d.

Пример: 29:4=7 (1 остаток). Проверка: 29=4×7+1=28+1=29.