Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

Взаимное расположение прямых в пространстве

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).

В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Кабели моста

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема «Признак скрещивающихся прямых»: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство

Рассмотрим прямую AB, лежащую в плоскости, и прямую CD, которая пересекает плоскость в точке D, не лежащей на прямой AB.

1. Допустим, что прямые AB и CD все-таки лежат в одной плоскости.

2. Значит, эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть, она совпадает с плоскостью α.

3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает ее.

Теорема доказана.

 

В пространстве прямые расположены следующим образом:

1. параллельные;

2. пересекающиеся;

3. скрещивающиеся.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE, параллельную AB.

2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α.

3. Так как прямая AB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.

Теорема доказана.

 

Углы между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними ‑ 0°.

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90°).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

 

Обрати внимание!

Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.

 

Пример:

дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Найти угол между AB и B₁D₁.

Выберем точку B на прямой AB и проведём через B прямую BD параллельно B₁D₁.

Угол между AB и BD ‑ 45°, так как ABCD ‑ квадрат.

Соответственно, угол между AB и B₁D₁ – тоже 45°.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Угол между прямыми в кубе

Условие задания:

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Вычисли величину угла между прямыми DA₁ и BD₁.

Запиши ответ в градусах:.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми