Основной закон теплопроводности (закон Фурье).

Основной закон теплопроводности (закон Фурье) устанавливает количественную взаимосвязь между тепловым по­током, вызванным теплопроводностью, и температурными неод-нородностями в среде. Для его формулировки выделим в среде изотермические поверхности со значениями температуры. Возьмем на изотермической поверхно­сти некоторую точку Р. Проведем из точки Р нормаль п к изо­термической поверхности. Под градиентом температуры пони­мают вектор, в направлении нормали к изотермической поверх­ности в сторону увеличения температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению:

где 1гс — единичный вектор, направленный по нормали п в сторону возраста­ния температуры.

Согласно основному закону теплопроводности плотность теп­лового потока прямо пропорциональна градиенту температуры:

где λ — коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью, Вт/См-К).

Скалярная запись уравнения (8.2) имеет вид

Знак минус в уравнениях (8.2) и (8.3) отражает разнона-правленность векторов grad t и q: вектор grad t по определению направлен в сторону возрастания температуры, а вектор q — • в сторону ее убывания.

Выразим из (8.3) теплопроводность

Анализируя (8.4), можно установить физический смысл теп­лопроводности %: теплопроводность — это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу изотермической поверхности при градиенте температуры, равном единице.

БИЛЕТ – 15

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

В подразделе 8.5 дан вывод дифференциального уравнения теплопроводности в неподвижной среде, аналогичным образом можно вывести дифференциальное уравнение в движу­щейся среде, называемое уравнением энергии, которое в декар­товых координатах имеет вид

или в более краткой записи:

где τ — время, с; V_x, V_y, V_z — проекции вектора скорости на оси х, у, z, м/с; а — температуропроворности, м²/с;

полная производная температура по времени т, которую в связи с тем, что она связана с движущейся материей или субстанцией, называют субстанциаль­ной производной и обозначают особым символом Dt / d τ;

— оператор Лапласа.

Уравнение (10.3) описывает изменение температуры в точке х, у, z в неподвижной системе координат, при этом первый член левой части уравнения характеризует изменение температуры во времени, последующие члены левой части — изменение темпера­туры вследствие движения жидкости через рассматриваемую точку пространства; правая часть уравнения выражает измене­ние температуры вследствие теплопроводности.

При v_x = v_y = v_z = 0 уравнение энергии переходит в дифферен­циальное уравнение теплопроводности (8.12).

Для интегрирования уравнения (10.3) и расчета по нему температурного поля необходимо знать компоненты скорости v_x, v_y, v_z. Это приводит в общем случае к необходимости дополни­тельного рассмотрения уравнений движения (уравнений Навье — Стокса) и уравнения неразрывности потока.

Уравнения движения для несжимаемой жидкости (р = const) в проекциях на оси декартовых координат имеют вид:

где р — плотность жидкости, кг/м³; g_x, g_y, g_z — проекции ускорения поля внешних массовых сил на оси х, у. z. м/с²; р — давление. Па; р, — динамиче­ская вязкость, Па-с; β — коэффициент объемного расширения, 1/К; t_x — тем­пература среды (температура жидкости в ядре потока);

— — субстанциальная производная;

 - оператор Лапласа.

С физической точки зрения уравнения (10.5) выражают ра­венство проекций равнодействующей всех сил, действующих на элемент объема жидкости (правые части уравнений), проекци­ям сил инерции (левые части уравнений). При этом первые сла­гаемые правых частей системы уравнений (10.5) выражают про­екции подъемной силы, вторые слагаемые — проекции сил дав­ления, третьи слагаемые — проекции сил внутреннего трения.

Уравнение неразрывности для несжимаемых жидкостей за­писывается в виде

Интегрирование системы уравнений (10.3), (10,5), (10.6) позволяет получить неизвестные функции t (x, у, z, τ), v { x, у, z, τ), р (x, y, z, τ). Для получения конкретного (частного) реше­ния указанную систему уравнений необходимо дополнить усло­виями однозначности, которые, как и в случае интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (8.12), вклю­чают в себя геометрические, физические, начальные и гранич­ные условия.