Гаусса решения систем линейных уравнений.

Уравнение вида a1x1+a2x2+…+anxn = в называется линейным с переменными x1, x2, …, xn; где а1, а1, …, an, в – числа. Решением линейного уравнения называется упорядоченный набор чисел α1, α2, …, αn при подстановке которого вместо x1, x2, …, xn соответсвенно (т.е. x1=α1, x2=α2, …, xn=αn) получаем верное числовое равенство. Если в линейной уравнении в=0, то уравнение называется однородным. Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система в которой каждое уравнение является линейным. Общий вид СЛУ следующий:

, здесь n-переменных, m-уравнений.

Решение СЛУ – упорядоченный набор чисел α1, α2, …, αn, который является решением каждого уравнения системы.

СЛУ называется совместной, если у системы есть хотя бы 1 решение, в противном случае система называется несовместной. Если в СЛУ в1=в2=…=вn=0, то система называется однородной. Две системы линейных уравнений от одного и того же числа переменных называются равносильными (эквивалентными), если множество их решений совпадают. Чтобы доказать, что две системы равносильны, нужно доказать, что любое решение одной системы является решением другой и наоборот. Элементарные преобразования в СЛУ:

1) перемена уравнений местами, 2) умножение ур-я системы на ненулевое число, 3) умножение ур-я на число с последующим прибавлением результата к другому уравнению, 4) вычеркивание или приписывание уравнения вида 0х1+0х2+…+0хn=0 (также называется нулевым). Теорема: под действием элементарных преобразований, СЛУ переходит в систему, равносильную данной. Решить СЛУ означает найти все ее решения, или доказать, что их нет.

Методы Гаусса и Жордана-Гаусса решения СЛУ:  

Пусть дана СЛУ:. Можем считать, что а11≠0 (если это не так, то переставим местами уравнения и добьемся того, чтобы а11≠0).

Начиная со 2го уравнения, исключим переменную х1. Для этого 1е уравнение умножим на число (-as1/a11) и прибавим полученный результат к s-му уравнению для всех s=2,3,…,m. Получим следующую СЛУ: 

(нулевые ур-я уже вычеркнуты). Аналогичным образом исключаем переменные х3, …, хn и получим следующую систему вида: 

(нулевые ур-я уже вычеркнуты).

Если в полученной системе есть уравнение вида 0x1+0x2+…+0xn=в не = 0, то исходная система решений не имеет. Если таких уравнений нет, то последняя система решается, начиная с последнего уравнения. Т.к. последняя система была получена из исходной применением элементарных преобразований, то эти две системы равносильны. Количество решений у СЛУ может быть следующее: 1) нет решений, 2) ровно одно решение, 3) бесконечно много решений. Рассмотренный способ решения СЛУ называется методом Гаусса.

Если используя элементарные преобразования получена система, в которой, начиная со второго уравнения, исключен ряд переменных, то, начиная с последнего уравнения, можно исключить ряд переменных в вышестоящих уравнениях. Такой метод решения СЛУ называется методом Жордана-Гаусса.

Матрица системы линейных уравнений и матрично-векторная запись СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности СЛУ.

Систему из m линейных уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

A=; X=; B=

и тогда всю СЛУ можно записать так: АХ=В, где А имеет смысл таблицы коэффициентов а_ij СЛУ. Если m=n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A^-1, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева:

 А^-1АХ=А^-1B, А^-1А – превращается в Е (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений Х=А^-1В. Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Пусть дана система:. Составим две матрицы: А=; Ã=. Пусть r_А- ранг векторов-строк матрицы А, r_Ã- ранг векторов-строк матрицы Ã. Теорема: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда r_А= r_Ã.

 

Матрицы. Размерность матрицы. Специальные матрицы (нулевая,

Единичная, квадратная).

Множество действительных чисел R. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Размерностью матрицы называется пара чисел, обозначаемая mхn, где m – количество строк, n – количество столбцов. Общий вид матрицы следующий: A==(a_ij)_mxn.

Множество всех матриц размерности mxn обозначается Мmxn (R). Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если соответствующие элементы этих матриц равны. При этом пишут А=В.

Нулевая матрица – это матрица размерности mxn, все элементы которой равны нулю. Нулевая матрица, и только она, имеет ранг=0. Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения вектор-строки слева. Единичная матрица – квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю. Матрица, в которой количество строк совпадает с количеством столбцов называется квадратной.

Сложение матриц, свойства.

Сумма матриц А и В ϵ Мmxn называется матрица А+В, которая получается путем сложения соответствующих элементов матриц А и В. Свойства сложения матриц: Пусть А, В, С ϵ Мmxn. 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+Ѳ=А, где Ѳ-матрица, элементами которой являются нули (нулевая матрица).