Прямые методы решения СЛАУ. Метод прогонки.

Прямыми называют такие методы, которые используют конечные соотношения (формулы) для выполнения заранее известного числа операций. При этом, если исходные данные точны, то результат будет точным, поэтому прямые методы называют точными методами. Но исходные данные обычно не точны и при решении задачи прямыми методами происходит накопление погрешностей. Чем больше число уравнений, тем больше погрешностей, поэтому прямые методы используют, если n<200.

К прямым методам относятся, формулы Крамера, метод Гауса, метод Жордана и метод прогонки.

Метод прогонки применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде:

.

Является частным случаем метода Гаусса и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в исключении элементов матрицы системы (2.6), лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу обратного хода можно записать в следующем виде:

,                                         (2.7)

Уменьшим в формуле (2.7) индекс на единицу: и подставим в (2.6):

Выразим :

                                             (2.8)

Сравнивая (2.7) и (2.8), получим:

                                (2.9)

Поскольку , то  ;            (2.10)

Теперь по формулам (2.9) и (2.10) можно вычислить прогоночные коэффициенты  и  (). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты, по формулам (2.7), можно вычислить все  () (обратный ход прогонки). Поскольку , то  и . Далее вычисляем , ,..., , .

Итерационные методы решения СЛАУ.

(метод Якоби) Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения  (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу , вектор  системы (2.1) и , приводит к новому вектору :

,   (2.11)

Затем процесс повторяется, только вместо  используется новое значение . На -м шаге итерационного процесса по получают:

, (2.12)

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:

,                                                 (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

 (2.14)

(метод Зейделя) Вычисления в этом методе почти такие же, как и в методе Якоби, с той лишь разницей, что в последнем новые значения  не используются до новой итерации. В методе Зейделя при нахождении -ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

,                    (2.17)

Сходимость и точность достигаются условиями (2.13) и (2.14).

Методы простой итерации и Зейделя для решения систем нелинейных уравнений.