Численные методы. Погрешность вычислений.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. При этом результат получается в виде числовых значений. Обычно результат находится с некоторой погрешностью.

Есть четыре источника  погрешности результата:

1) математическая модель,

2) исходные данные,

3) численный метод,

4) округление при вычислениях.

Погрешность математической модели связана с тем, что она охватывает важнейшие для данной задачи стороны явления, но не все. Исходные данные не точны, т.к. они являются результатами измерений или эксперимента. Погрешность исходных данных называется неустранимой погрешностью т.к. не зависит от исследователя. Погрешность метода связана с тем, что решение задачи сформулированной в терминах более сложных (производные, интегралы, диф. уравнения), сводится к вычислению в определённом порядке арифметических выражений.

36) Метод деления отрезка пополам для решения уравнений вида f(x)=0.

Пусть найден интервал [a, b], на концах которого функция f (x) имеет разные знаки, т.е. f(a)f(b)<0. Это означает, что на интервале [a, b] содержится несколько корней уравнения. Если интервал достаточно короткий, то корень один.

Интервал [a,b] делим на два: x = (a+b)/2 и получим 2 интервала [a,x], [x,b]. Из двух интервалов выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, ибо этот интервал содержит корни. Выбранный интервал снова делим пополам, и из двух интервалов выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, либо этот интервал содержит корни и т.д. Если требуется найти корень с точностью ε, то деление продолжаем до тех пор, пока длина интервала не станет меньше ε, после этого любое число из этого интервала можно взять в качестве значения корня, вычисленного с точностью ε.

Алгоритм метода деления отрезка пополам.

Если f(a)f(х)<0, то выбираем: иначе: Если (b-a)>ε, то: Если (b-a)<ε, то печатаем х. Конец.

 Программа (исходные данные: f(x), a, b, ε):

 DEF FNF(X) = f(x)

 NPUT a, b, eps

 2 x=(a+b)/2

 IF FNF(a)*FNF(x)<0 THEN b=x ELSE a=x

 IF (b-a)>ε THEN 2

 PRINT x, FNF(x)

 END.

37) Метод решения нелинейных уравнений f(x)=0. Метод Ньютона.

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Сформулируем достаточное условие сходимости метода.

Пусть функция f(x) определена и дважды дифференцируема на интервале от a до b, причём должно быть f(a)f(b)<0, а производные f'(x) и f''(x) сохраняют знак на интервале от a до b. Тогда, исходя из начального приближения, Хо принадлежащие [a, b] и удовлетворяющих условию f(Хо) f"(Хо)>0, можно построить последовательность: Хк+1 = Хк - (f(Хк) / f'(Хк)), К=0,1,2,3…, сходящуюся к единственному на интервале [a, b] корню уравнения f(x)=0. Метод Ньютона позволяет (допускает) простую геометрическую интерпретацию. Выберем начальное приближение: f(b)>0, f''(b)>0 (т.к. функция вогнута) и Xo=b. К точке кривой с абсциссой X0 проведём касательную.

Точку пересечения касательной с осью абсцисс обозначим Х1,к точке с абсциссой X1 снова проведем касательную, точку ее пересечения сосью обозначим X2 и т.д. Таким образом будем продвигаться все ближе к точке С, пока расстояние до него не станет меньше ε. Получим условие остановки:

|Xk+1-C| < |Хк+1-Хк|< ε.

Выведем расчетные формулы метода. У нас ABC - прямоугольный треугольник. tgα = ВС/АС tgα = f'(x) BC = (Xo) AC = Xo-X

Уравнение касательной:

Программа (исходные данные: f(X),f'(X), Xo, ε)

DEF FNF (X)=f(x)

DEF FNP (X)=f'(x)

INPUT X, eps

2 Y=X - FNF(X)/FNP(X)

IF ABS(Y-X)<eps THEN 5

X=Y: GOTO 2

5 PRINT Y,FNF (Y)                  END.

38) Метод простой итерации для решения уравнений вида f(x) =0

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение  необходимо привести к виду .

В качестве  можно принять функцию , где М‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации . При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:

 или .                   

Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения , получаем новое приближение .

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:

, ,..., , k = 1,2,...,n.

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .