Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Приклади постановок таких задач.
Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних. Рівняння коливань струни. Розв ’ язок задачі Коші методом Даламбера Питання для самоконтролю. Лекція №1. В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики? Від чого залежить розв ’ язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку? Приклади рівнянь еліптичного типу. 4. Як називається і до якого типу належить рівняння: ? В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни? Записати формулу Даламбера, яка дає розв ’ язок одномірного однорідного хвильового рівняння. Література: А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954. Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальн ые главы ”, Киев, 1981. О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986. П.Е.Данко, А.Г.Попов “ Высшая математика в упражнениях и задачах ”, ч.2, Москва, 1974. Лекція №1. Тема: Основні задачі математичної фізики.
В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики. Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку: де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n ³2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - lE)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:
d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0. Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками. Це характеристичне рівняння можна записати й так Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння j(х,у)=С1 і y(х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип. Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д. Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році. Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д. Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є: До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння DU=0 (Лапласа); DU=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: DU+kU=0, і полігармонійні рівняння. В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид: рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид: рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:
Тема: Рівняння коливань струни.
В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.
Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати, що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).
Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ¾М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, ¾М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т. Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2). На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути j та j+Dj. тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(j+Dj)-Tsinj. Так як кут j малий, то можна покласти tgj=sinj, і ми отримаємо: (тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках). Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай r - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде rDх. Прискорення елемента дорівнює . Отже, по принципу Даламбера будем мати: Скорочуючи на Dх і позначаючи , получаємо рівняння руху . (1) Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами. Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності: u(0,t)=0, u(l,t)=0. Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі. В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути . (2) Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією j(х).Таким чином, має бути . (3) Умови (2) і (3) являються початковими умовами.
Тема: Розв ’ язок задачі Коші методом Даламбера. Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера. Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так: Знайти рішення хвильового рівняння Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1), Задовільняюче початковим умовам U(x,0)=j(x); ut(x,0)=y(x) де j(х) і y(x) – задані у функції. Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння
A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0 Прийме вид -a2dt2+dx2=0, або dx2-a2dt2=0. Воно розпадається на два рівняння: dx-adt=0 і dx+adt=0 інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2 введемо нові змінні x=x-at, h=x+at. Тоді xх=1, xt=-a, hx=1, ht=a, ux=uxxx+uhhx=ux+uh, uxx=uxxxx+uxhhx+uhxxx+uhhhx=uxx+2uxh+uhh, ut=uxxt+uhht=-aux+auh, utt=-auxxxt-auxhht+auhxxt+auhhht=a2uxx-2a2uxh+a2uhh. Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо a2uxx-2a2uxh+a2uhh-a2(uxx+2uxh+uhh)=0, -4a2uxh=0, uxh=0. Отримане рівняння можна записати як: . Звідси випливає, що uh не залежить від x: uh=f*(h), де f*(h) – довільна функція h. Інтегруючи останню рівність по h при фіксованому x, маємо . де f1(x) і f2(h) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів x і h. Враховуючи, що x=х-at і h=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at). Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам: u(x,t)=f1(x)+f2(x)=j(x), ut(x,0)=-af¢1(x)+af¢2(x)=y(x). Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь f1(x)+f2(x)=j(x), -af¢1(x)+af¢2(x)=y(x). Інтегруючи другу рівність, отримаємо де х0 і С – постійні. Тоді f1(x)+f2(x)=j(x), . Звідси знаходимо , і . Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо , . Ця рівність називається формулою Даламбера. Раніше функцію u(x,t) ми записували як: u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at), де перший додаток при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення. Аналогічно функція являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, щорозповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від¢ємному напрямку вісі 0Х. В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.
Лекція №2 План
Рівняння теплопровідності.
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-03-02; просмотров: 205; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.222.253 (0.054 с.) |