Метод г аусса з вибором головного елементу Для розв’язку слар

 

У лінійній алгебрі розглядаються чотири класи основних задач: розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), знаходження визначників, визначення обернених матриць, знаходження особистих значень і особистих векторів матриць. Всі ці задачі мають важливе прикладне значення при розв’язанні різних проблем науки і техніки. Крім того, задачі лінійної алгебри є допоміжними при реалізації багатьох алгоритмів математики і математичної фізики.

Необхідно визначити СЛАР

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ +... + а_1n х_n = а_1,n+1,                                                                               (1.1)

а₂₁ х₁ + а₂₂ x₂ + …+ а_2n х_n =a_2,n+1,

а_n1 х₁ + а _n2 x₂+...+ а_nn x_n = a_n,n+1,

 

де х_k — невідомі величини; а _ij — задані елементи розширеної матриці системи рівнянь. Для розв’язку СЛАР приміняють два класи методів: прямі та ітераційні. Прямі методи універсальні і приміняються до розв’язку систем невисокого порядку (n< 200). Ітераційні методи зручно використовувати для СЛАР високого порядку з слабо заповненими матрицями.

Метод Гаусса відноситься до прямих методів. Алгоритм методів складається з двох етапів. Перший етап називається прямим ходом і заключається у послідовному виключенні невідомих з рівнянь, починаючи з х₁.

З першого рівняння системи(1.1) виражаємо невідоме х₁:

х₁ = (а_1,n+1 - а₁₂ х₂ -... -а_1n х_n)/а₁₁,  (1.2)

що можливе при а₁₁ ≠ 0, в іншому випадку потрібно виконати перестановку рівнянь системи. Згідно формулі (1.2) потрібно кожен елемент першого рядка розширеної матриці СЛАР поділити на діагональний елемент

а_1j⁽¹⁾ = a_1j /a₁₁.  (1.3)

Потім підставляємо вираз (1.2) у всі рівняння системи, тим самим відкидаємо х₁ із всіх рівнянь, крім першого. Елементи розширеної матриці перетворюємо по формулі

a _{i j}⁽¹⁾ = а _{i j} – а_{i 1}а_1j⁽¹⁾,

i = 2, 3,..., n; j = 1, 2,..., n+1.     (1.4)

У результаті виключення першого невідомого х₁ із всіх рівнянь, всі елементи першого стовпчика перетворення матриці будуть рівні нулю, крім а₁₁⁽¹⁾ =1.

Невідоме х₂ виражаємо із другого рівняння системи і виключаємо із останніх рівнянь і т.д. В результаті отримуємо СЛАР з верхньою трикутною матрицею, у якої всі елементи нижче головної діагоналі рівні нулю.

Запишем вирази для невідомих х_k і перетворення елементів розширеної матриці системи, згідно формулам (1.2) – (1.4):

x_k = (а_k,n+1 -∑ а_{k j} х_j)/а _kk,  (1.5)

а _kj ^(m+1) = а_kj ^(m)/ а _kk^(m),

а _{i j} ^(m+1)= а _{i j} ^(m)- а _{i k}^(m)а _kj ^(m).

Другий етап розв’язку СЛАР називається зворотнім ходом методу Гаусса і полягає в послідовному визначенні невідомих х _k за першою формулою (1.5), починаючи з невідомого х _n і закінчуючи х₁.

Точність результатів буде визначатися точністю виконання арифметичних операцій при перетворенні елементів матриці. Для зменшення похибки при діленні на діагональний елемент (друга формула (1.5)) рекомендується виконати таку перестановку рівнянь, щоб поставити на діагональ найбільший по модулю із всіх елементів цього стовпчика. Така процедура називається вибором головного елемента стовпчика. Кількість арифметичних операцій у методі Гаусса зв’язано з розмірністю системи і наближено рівно 2/3 n³. Контроль отриманих розв’язків можна провести шляхом їх підстановки в початкову СЛАР і знаходження r_k, різницю між правими і лівими частинами рівнянь:

r _k = а _k,n+1 - ∑ а_{k j} х _j  (1.6)

 

При малій похибці розв’язок величини r _k буде наближатися до нуля.

 

Ввід:     0 N – порядок системи

 

Мал.1.1. Блок-схема програми розв’язку СЛАР методом Гаусса

 

Програму розв’язку СЯАР методом Гаусса складемо з трьох блоків (мал. 1.1). В блоці О (основна програма) задамо порядок системи і звертаємось до блоку 1, в якому визначаються елементи розширеної матриці СЛАР. Потім звертаємось до блоку 2, де реалізована програма методу Гаусса. Після цього виведем на дисплей результати розв’язку СЛАР або звістку про те, що розв’язок не існує у випадку виродженої матриці (DЕТ = О).

Для загальності блок 1 оформлений у вигляді окремої підпрограми. Тут елементи розширеної матриці задаються по рядкам у діалоговому режимі з клавіатури ПЕВМ. Хоча для інших конкретних задач елементи матриці можуть визначатися шляхом обчислення за даним алгоритмом, що потребує зміни програми блоку 1. Блок 2 являє собою програму методу Гаусса, яка складається з програми прямого і зворотнього ходів. У процесі прямого ходу здійснюється перестановка рядків матриці з метою вибору головних елементів стовпців.

Особливістю програми 1.1 мовою Паскаль є введення нових типів перемінних MAT і VEC для матриці А і вектора результатів Х. Таке введення потрібне тому, що перемінні А і Х є формальними і фактичними параметрами процедур.

Для контролю програм вирахуємо систему рівнянь

х₁ – 3х₂ + 2х₃ =7,

4х₁ + 6х₂ + х₃ = 3,

2х₁ + х₂ – 2х₃ = -1,

у результаті отримаємо х₁ = 2, х₂ = -1, х₃ = 1.