Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Оператор Лапласа и формула Грина в пространстве обобщенных функций.
В О П Р О С 1
Операции над обобщенными функциями: сдвиг, замена переменных, умножение. Примеры
6. Производная обобщенной функции в Сходящие последовательности в D’ (R) 1. Производные кусочно-непрерывных и кусочно- дифференцируемых функций. Функция Хевисайда и ее обобщенная производная.
7. Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор. Формулы Остроградского Гаусса. Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины – скалярной или векторной. Определение 2. Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным. Примеры скалярных полей: - каждой точке М нагретого тела поставлена в соответствие T(M) − ее температура, она образует поле температур внутри нагретого тела; - какой-либо источник света создает поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке Е(М); Примеры векторных полей: - если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, вообще говоря, с различной в разных точках, каждой точке можно поставить в соответствие вектор скорости, то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости; - если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку области, действует гравитационная сила, которая и образует поле сил тяготения или гравитационное поле; Важной характеристикой скалярного поля является градиент, позволяющий аналитически описать это поле. В декартовой системе координат градиент скалярного поля определяется по формуле
или Тогда производная по направлению где Говорят, что скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Пусть P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) - непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка функции. Дивергенцией векторного поля F=(P,Q,R) называется скаляр Ротором векторного поля F=(P,Q,R) называется вектор Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое поле называется потенциальным. Формулы Остроградского-Гаусса. T- замкнутая область ограниченная гладкой поверхностью S. cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. . Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объем. . 8. Характеристическая функция множества и ее производная в . Разрывные регулярные обобщенные функции и их производные. Примеры.
Характеристическая функция, или функция принадлежности подмножества A⊇X — это функция, определённая на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента x∈X подмножеству A. В нашем случае этой функцией является функция Хевисайда: или Производная функции Хевисайда равна дельта-функции: . Производная от sgn(x)
Пусть функция f(x) кусочно-непрерывно дифференцируема в (a, b) и пусть {xk} - точки из (a, b), в которых она и ее производная имеют разрывы 1-го рода. Тогда (1) где f'кл(x) - классическая производная функции f(x), равная f'(x) при x≠xk, и не определена в точках {xk}, - скачок функции f(x) в точке xk, Действительно, для любой ϕ∈D(a, b) имеем что и доказывает формулу (1). Примеры. 1)Примером может служить производная от функции Хевисайда, показанная выше. 2) 3)
9,Производная обобщенной функции в . Производная простого слоя, двойной слой.
Докажем, что (1) Действительно в силу при всех имеем где вспомогательная функция и равна 1 в окрестности носителя . Замечая теперь, что функция принадлежит , и пользуясь равенством получаем равенство (1): Пусть "шапочка". Тогда бесконечно дифференцируемая функция
В О П Р О С 1
Операции над обобщенными функциями: сдвиг, замена переменных, умножение. Примеры
6. Производная обобщенной функции в Сходящие последовательности в D’ (R) 1. Производные кусочно-непрерывных и кусочно- дифференцируемых функций. Функция Хевисайда и ее обобщенная производная.
7. Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор. Формулы Остроградского Гаусса. Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины – скалярной или векторной. Определение 2. Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным. Примеры скалярных полей: - каждой точке М нагретого тела поставлена в соответствие T(M) − ее температура, она образует поле температур внутри нагретого тела; - какой-либо источник света создает поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке Е(М); Примеры векторных полей: - если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, вообще говоря, с различной в разных точках, каждой точке можно поставить в соответствие вектор скорости, то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости; - если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку области, действует гравитационная сила, которая и образует поле сил тяготения или гравитационное поле; Важной характеристикой скалярного поля является градиент, позволяющий аналитически описать это поле. В декартовой системе координат градиент скалярного поля определяется по формуле или Тогда производная по направлению где Говорят, что скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Пусть P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) - непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка функции. Дивергенцией векторного поля F=(P,Q,R) называется скаляр Ротором векторного поля F=(P,Q,R) называется вектор Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое поле называется потенциальным. Формулы Остроградского-Гаусса. T- замкнутая область ограниченная гладкой поверхностью S. cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. . Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объем. . 8. Характеристическая функция множества и ее производная в . Разрывные регулярные обобщенные функции и их производные. Примеры.
Характеристическая функция, или функция принадлежности подмножества A⊇X — это функция, определённая на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента x∈X подмножеству A. В нашем случае этой функцией является функция Хевисайда: или Производная функции Хевисайда равна дельта-функции: . Производная от sgn(x)
Пусть функция f(x) кусочно-непрерывно дифференцируема в (a, b) и пусть {xk} - точки из (a, b), в которых она и ее производная имеют разрывы 1-го рода. Тогда (1) где f'кл(x) - классическая производная функции f(x), равная f'(x) при x≠xk, и не определена в точках {xk}, - скачок функции f(x) в точке xk, Действительно, для любой ϕ∈D(a, b) имеем что и доказывает формулу (1). Примеры. 1)Примером может служить производная от функции Хевисайда, показанная выше. 2) 3)
9,Производная обобщенной функции в . Производная простого слоя, двойной слой.
Оператор Лапласа и формула Грина в пространстве обобщенных функций.
11.Прямое произведение обобщенных функций и его свойства. Привести примеры. Определение прямого произведение.Пусть и локально интегрируемые функции в пространствах и соответственно. Функция также будет локально интегрируемой в . Она определяет обобщенную функцию, действующую на основные функции по формулам , (1) (1*) Это равенство выражaют теоремы Фубини о совпадении повторных интегралов с кратным.Равенство (1) мы примсем за определение прямого произведения обобщенных функций (2) Прямое произведение коммутативно: Примеры: Доказать что
12.Дифференцирование прямого произведения. Привести примеры. Дифференцирование прямого произведения (1) В самом деле, если то Доказательство: )= = Умножение прямого произведения: Если Сдвиг прямого произведения: 13.Свертка регулярных обобщенных функций и ее свойства. Условия существования сверток. Привести пример
14. Свертка обобщенных функций в и ее свойства. Свертка регулярной обобщенной функции с простым слоем. Определение. Сверткой обобщенных функций называется линейный непрерывный функционал вида: , ϕ∈D(RN), hk(x)-шляпа Соболева, при условии, что такой функционал существует. Свойства свертки: 1) Коммутативность. Если свертка существует, то найдется и свертка и они будут равны: Это вытекает из определения свертки и из коммутативности прямого произведения:
.Таким образом получаем: 2) Сдвиг свертки. Если существует, то существует и свертка для любых , при этом:
,
Если - последовательность функций из , сходящаяся к в , тогда для всех выполняется
Используя определение сдвига и свертки, для всех обретаем: . Тут мы воспользовались формулой для сдвига прямого произведения. 3) Отражение свертки. Если найдется свертка , то найдется и свертка , при этом
Доказательство получается аналогично 2). 4) Дифференцирование свертки. Если найдется свертка , то найдется свертка и f , при этом
4) На множестве обобщенных функций, которые имеют с свертку, операция линейна. Это следует напрямую из определения свертки и из линейности операции . Свертка регулярной обобщенной функции с простым слоем:
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 823; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.57.87 (0.101 с.) |