Моменты инерции некоторых твердых тел

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера: Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями (теорема Штейнера):

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением, где Mz – момент сил относительно оси вращения z.

.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:

где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.
В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси M z = 0 и , откуда Lz = const – закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

 

Колебания и волны

Основные положения:

Колебательное движение – движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени.

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, являются гармоническими.

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, по истечение которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За этот промежуток времени совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. .

Циклической (круговой) частотой колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.

, тогда

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется с течением времени по закону:

,

где А, ω, φ₀ – постоянные величины.

А > 0 – величина, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся величины х и называется амплитудой колебаний.

Выражение определяет значение х в данный момент времени и называется фазой колебаний.

В момент начала отсчета времени (t = 0) фаза колебаний равна начальной фазе φ_0.

Математический маятник – это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Период свободных колебаний математического маятника: .

Пружинный маятник – материальная точка, закрепленная на пружине и способная совершать колебания под действием силы упругости.

Период свободных колебаний пружинного маятника: .

Физический маятник – это твердое тело, способное вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Период колебаний физического маятника: .

Теорема Фурье: любой реальный периодический сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами. Эту сумму называют гармоническим спектром данного сигнала.

Вынужденными называют колебания, которые вызваны действием на систему внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени.

Сила F(t) называется возмущающей силой.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, что связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.

Если частота колебаний системы совпадает с частотой возмущающей силы, то резко возрастает амплитуда колебаний системы. Это явление называется резонансом.

Распространение колебаний в среде называется волновым процессом, или волной.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

 

 

Волна называется продольной, если колеблющиеся частицы движутся в направлении распространения волны. Продольные волны распространяются в любой среде (твердой, жидкой, газообразной).

 

Распространение поперечных волн возможно только в твердых телах. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно.

Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. расстояние, на которое распространяется волна за один период.

,

Скорость волны V – это скорость распространения колебаний в среде.

Период и частота волны – период и частота колебаний частиц среды.

Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за один период: .

Звук – упругая продольная волна, распространяющаяся от источника звука в среде.

Восприятие звуковых волн человеком зависит от частоты, слышимые звуки от 16 Гц до 20000Гц.

Звук в воздухе – это продольная волна.

Высота тона определяется частотой звуковых колебаний, громкость звука – его амплитудой.

Работа № 8

Гидро- аэродинамика

Основные положения:

Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой одинакова и не меняется со временем.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением: . Единица измерения давления – Паскаль (Па).

Закон Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости передается одинаково по всем направлениям.

Гидростатическое давление – давление внутри покоящейся жидкости. .

Движение жидкостей существенно усложняется по сравнению с движением твердых тел, тем, что существует возможность перемешивания слоев жидкости. При малых скоростях слои жидкости не перемешиваются. Течение, при котором струи не перемешиваются и в каждой точке сечения потока существует определенная скорость течения, называется стационарным слоистым или ламинарным. В этом случае можно ввести понятие о линии тока – траектории отдельного элемента объема жидкости, непересекаемой никакой другой линией тока. Совокупность таких линий тока, опирающаяся на некоторое элементарное сечение, называется трубкой тока. Трубки тока никогда не пересекаются друг с другом, и жидкость никогда не выходит через стенки трубки тока. Все сечение трубы, заполненное слоистым потоком жидкости, является макроскопической трубкой тока.

При стационарном течении линии тока совпадают с траекторией движения частиц жидкости.

При увеличении скорости слои жидкости перемешиваются, такое течение называется турбулентным.

При стационарном течении масса жидкости, проходящей через любое поперечное сечение трубки в единицу времени, остается неизменной. Уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости: .

В случае несжимаемой жидкости ее плотность везде одинакова и тогда можно записать: S∙ V = const