Емкость уединенного проводника

Þ ; .

Емкость уединенного проводника, т.е. проводника, бесконечно удаленного от всех остальных проводников, определяется величиной заряда, который нужно сообщить проводнику, чтобы его потенциал был равен единице. При этом предполагается, что аддитивная постоянная в выражении для потенциала выбрана так, что .

.

Емкость уединенного шара: потенциал на расстоянии от металлического заряженного шара . На поверхности шара (и в любой другой точке шара) .

Но по определению . Отсюда .

В системе СИ единица измерения емкости – фарада:

1Ф= =9×10¹¹см;

1мкФ=9×10⁵см, 1 пФ=0.9 см.

Емкость Земли: 6×10³км=6×10⁸см<1мФ.

 

Неуединенный проводник

Его потенциал при сообщении ему определенного заряда существенно зависит от формы и расположения других проводников. Поле заряженного проводника вызывает перераспределение зарядов на других близко расположенных проводниках – в том числе и на незаряженных (явление электростатической индукции).

По достижении равновесия заряды на проводниках распределятся таким образом, что внутри каждого проводника сумма полей, созданных индуцирующим зарядом и индуцированным зарядом, была бы равна нулю.

 

Две бесконечные параллельные металлические плоскости

 

1) Вблизи металлической плоскости существует только нормальная компонента поля . где - поверхностная плотность зарядов.

Если имеем пластины конечных размеров, то результат почти тот же, но имеются незначительные отклонения на краях пластин. Плотность поверхностных зарядов , где - заряд одной из пластин.

 

 

РИС.15-5

 

Поле между пластинами .

Зададим расстояние между пластинами и вычислим потенциал:

. Отсюда: - емкость плоского конденсатора.

Вообще говоря, расчет электростатического потенциала требует знания распределения объемной плотности заряда в исследуемом пространстве. Если задано , то из уравнения Пуассона можно найти при соответствующих граничных условиях (с точностью до аддитивной постоянной).

В электродинамике доказывается теорема единственности: если удалось найти (чаще всего – просто угадать) функцию , которая удовлетворяет всем условиям задачи, то такое решение будет единственным.

 

Метод электрических изображений

Решение задач электростатики облегчается некоторыми искуственными приемами, в частности, методом электрических изображений.

 

 

РИС.15-6

Эквипотенциаль разделяет все пространство на два полупространства I и I’.

- заряды в полупространстве I,

- заряды в полупространстве I’.

Сначала вычислили потенциал данной системы точечных зарядов и провели некоторую эквипотенциальную поверхность . Теперь поле в I полностью задается распределением зарядов и потенциалом поверхности . Поэтому, если вообразить, что поверхность является проводящей (металлической), то поле во всем пространстве не изменится. Однако поля в полупространствах I и I’ становятся независимыми друг от друга.

В результате мы получаем решение сразу двух задач.

В полупространстве I по одну сторону проводящего тела находятся точечные заряды Нужно найти электрическое поле в этом полупространстве. Оно векторно складывается из полей зарядов и зарядов, индуцированных на поверхности .

Однако в силу теоремы единственности поле индуцированных зарядов в полупространстве I эквивалентно полю, создаваемому зарядами Значит, при вычислении поля в полупространстве I можно поверхность убрать и заменить ее зарядами

Совокупность этих зарядов называется электрическим изображением зарядов в поверхности .

Пример. Точечный заряд над бесконечной проводящей плоскостью

РИС.15-7

 

РИС.15-8

 

 

.

При таком задании потенциала он обращается в нуль на плоскости (так как ), следовательно, - эквипотенциаль.

Теперь начинаем вычислять поверхностную плотность индуцированного заряда (Рис. 15-8)

Осевая симметрия относительно оси . - симметрична.

РИС.15-9

 

,

,

, .

;

,

Þ

.

Проверка: полный индуцированный на поверхности заряд должен быть равен . Убеждаемся в этом путем непосредственного интегрирования.

{новая переменная , }

= - к чему и стремились.

 

Энергия взаимодействия электрических зарядов

 

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия между ними производят некоторую работу . Эта работа происходит за счет убыли энергии взаимодействия между зарядами:

, где - электрическая энергия.

Система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

 

РИС.15-10

 

Пусть имеется неподвижно закрепленный заряд +q. Если заряд –q отпустить, то он начнет двигаться в сторону заряда . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов перейдет в кинетическую энергию движения . Вычислим потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов при условии, что .

Итак, неподвижно закреплен заряд .

 

РИС.15-11

 

Заряд приносим из в поле заряда до расстояния . При этом совершается работа . Здесь - потенциал, создаваемый зарядом в точке, где находится заряд , т.е. . Если теперь вносим из заряд в поле неподвижно закрепленного заряда до расстояния , то совершается работа

;

, , .

Энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно записать в симметричной форме:

.

 

Собираем систему из трех зарядов

РИС.15-12

 

В поле заряда вносим заряд (из ):

.

В систему зарядов вносим заряд :

.

Полная энергия взаимодействия системы трех зарядов:

- потенциал, создаваемый зарядами и в точке, где находится заряд .

Вообще - потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд , всеми остальными зарядами.

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов:

.

Обобщаем полученные результаты на систему объемных и поверхностных зарядов.

Разделяя объемные заряды на элементарные и поверхностные на элементарные , получаем:

, где - значение потенциала поля всех объемных и поверхностных зарядов в элементе объема или на элементе поверхности .

 

Несколько простых примеров

1) Энергия уединенного проводника

Пусть проводник изолирован от земли и совсем не заряжен: . Затем зарядим до q₀. , {заряжаем до уровня , }=

= .

РИС.15-13

 

2)

Энергия плоского конденсатора

РИС.15-14

,

, , - конденсатор запасает энергию.

 

Понятие о плотности энергии

Þ .

Рассмотрим простейший случай плоского конденсатора.

; .

Этот результат имеет на самом деле весьма общее значение.

Можно показать:

 

(это получается из ).

 

Носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится

- объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление (теорема Грина)

(дополнительный материал)

 

.

Обозначим вектор как произведение некоторого скаляра на градиент другого скаляра ( - некоторые функции координат, непрерывные, конечные, имеющие производные первого и второго порядков).

;

;

.

Подставим полученный результат в формулу, выражающую теорему Гаусса:

 

- теорема Грина.

 

Другая форма записи.

Можно взять . Получим:

.

Вычитая, получим:

.

Здесь - любые непрерывные конечные скалярные функции координат, обладающие в области интегрирования производными первого и второго порядков.

 

Теперь рассмотрим интересующий нас случай энергии взаимодействия:

.

Положим в теореме Грина .

.

Вспоминаем: 1) ,

;

2) .

Подставляя, получаем:

.

Поверхность выделяет из объема могущие лежать в нем поверхности разрыва

(т. е. заряженные поверхности).

Полагаем, что разрыва потенциала не происходит (т.е. по обе стороны заряженной поверхности ).

Тогда, стягивая поверхность к поверхностям разрыва , получим:

где ранее - общая нормаль для и , т.е. внешняя по отношению к одному и внутренняя по отношению к другому ; теперь - некая новая нормаль, внешняя по отношению к заряженной поверхности.

Тогда .

Итак, при стягивании к получаем:

.

Соберем теперь полученные результаты.

.

Делим на :

.

Распространим теперь интегрирование по области, где существуют объемные и поверхностные заряды, но и по всей области, где существует поле всех этих зарядов. Это означает, что нужно найти такую поверхность, на которой (во всех точках которой) напряженность поля обращается в 0.

В действительности такой замкнутой оболочки, как правило, не существует, и граница поля .

На самом деле нас интересует обращение в нуль некоторых конкретных величин на так называемой границе поля. Обычно интегрируют по бесконечному пространству, но это можно делать в том и только в том случае, если интегралы всех интересующих нас величин по поверхности объема стремятся к нулю.

Если бесконечно возрастает, это значит, что площадь этой поверхности растет как . Следовательно, подинтегральные выражения в интересующих нас поверхностных интегралах должны убывать быстрее, чем при .

В нашем случае

.

 

В дальнейшем будем полагать, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль.

Итак: .

- это бесконечная сумма слагаемых вида .

Итак, носителем энергии является электрическое поле, энергия локализована в пространстве так, что в единице объема содержится:

- объемная плотность электрической энергии.

Математическое отступление окончилось.

 

Появилась некоторая проблема.

Если мы имеем один точечный заряд, то создаваемое им поле и .

Если воспользоваться формулой , то получим , так как других зарядов, кроме , нет, и никакой потенциал в точке, где он находится, не создается: .

Дело в том, что формула учитывает так называемую собственную энергию заряда. Действительно, если бы мы приписали точечному заряду конечный объем, разбили бы его на элементарные заряды и посчитали бы его энергию по формуле , то получили бы его собственную энергию .

Собственная энергия заряда – это работа сил взаимного отталкивания, которую они произвели бы, если бы все части заряда разлетелись на .

 

Полная энергия двух зарядов

- поле заряда №1,

- поле заряда №2,

.

.

;

( - собственные энергии, - энергия взаимодействия).

Из следует, что .

Следовательно, , т.е положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или равна) взаимной энергии зарядов, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Значит, при всех возможных перемещениях зарядов, не меняющих размеры и формы, можно считать аддитивными постоянными в выражении для полной энергии , изменение которой обусловлено изменением взаимной энергии зарядов .

 

Энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности:

, !

 

Пондеромоторные силы

(дополнительный материал)

Напряженность поля - сила, действующая на единичный положительный пробный заряд.

Значит - это поле, создаваемое всеми зарядами, кроме пробного.

Механическая сила, действующая на точечный заряд : .

 

Сила, действующая на поверхностные заряды

 

Заряженный мыльный пузырь-пример уединенной напряженной поверхности. Между элементами заряда действуют силы отталкивания. Только силы, растягивающие поверхность. Мыльный пузырь растягивается, до тех пор, пока силы отталкивания не уравновесятся силами поверхностного натяжения и разностью давлений воздуха внутри и вне пузыря.

Итак, в случае уединенного проводника все электрические силы сводятся лишь к взаимному отталкиванию элементов заряда этого проводника.

Какие силы будут приложены к поверхности неуединенного проводника в произвольном электростатическом поле?

Представим заряженную сферу с поверхностью S.Напряженность поля с внешней стороны элемента dS:

- поле с внешней стороны элемента .

Поле складывается из поля самого элемента , равного , и из поля всех остальных зарядов .

В двух смежных точках, лежащих по обе стороны поверхности , поле будет, очевидно, одинаковым. Поле будет в этих же точках одинаковым по величине, но противоположным по направлению.

Значит, с внешней стороны поверхности :

.

С внутренней стороны поверхности:

.

Отсюда: .

Сила, испытываемая зарядом элемента , определяется полем всех прочих зарядов: .

Сила, действующая на единицу площади заряженного проводника:

- поверхностная плотность пондеромоторных сил.

 

, - направление внешней нормали.

 

Сила, действующая на диполь

 

.

Если электрическое поле однородно, и равнодействующая .

Однако на диполь действует момент сил .

Отсюда вывод: диполь стремится повернуться в электрическом поле так, чтобы его момент был параллелен (антипараллелен, но это положение не устойчиво) полю E.

Если электрическое поле неоднородно, то .

Для точечного диполя (приращение поля на отрезке , равном плечу диполя):

.

Сила: .

Скалярное произведение: .

В этих обозначениях .

Эта сила направлена в сторону возрастания электрического поля: диполь втягивается в область сильного поля.

 

 

Другая формулировка для пондеромоторных сил, из выражения для энергии

 

,

.

.

 

Сила, действующая на пластины плоского конденсатора.

,

.

Или: ,

.

 

Сила, создаваемая поверхностным зарядом: - в полном согласии с полученным ранее результатом:

 

Вопрос об устойчивости электрических систем. Теорема Ирншоу

(дополнительный материал)

 

Для электрической теории строения материи весьма важен вопрос о возможности существования устойчивых конфигураций электрических зарядов (электронов и протонов). Может ли эта система находиться в статическом равновесии или же в атомах и молекулах эти частицы должны находиться в непрерывном движении?

Как это выяснить?

Электрическая энергия играет роль потенциальной энергии – в этом мы уже убедились. Условие устойчивости любой системы – нахождение ее в состоянии минимума потенциальной энергии - ищем .

, .

Условия min:

1) ; { - координата любого заряда}

2) , или , так как min не достигается, если хотя бы одна из вторых производных .

.

=0, если .

Если или , то = 0 в силу того, что вообще = 0 в любой точке P.

 

Это можно показать: = 0 (если ).

Принимаем точку P за начало координат.

Тогда ,

.

;

.

Отсюда:

- что и требовалось доказать.

Из изложенного следует, что - потенциальная энергия не имеет минимума, следовательно (теорема Ирншоу):

статическая система электрических зарядов не является устойчивой.

Физический смысл: разноименные заряды притягиваются вплоть до взаимного уничтожения, а одноименные отталкиваются вплоть до удаления в бесконечность.

 

Общая мораль:

1) атом должен представлять собой динамическую систему;

2) поскольку теорема Ирншоу исходит только из одного обстоятельства – сила взаимодействия , значит, устойчивость нашей планетной системы обусловливается лишь движением планет.

 

Статическая система, которую мы здесь рассматривали, может быть устойчивой лишь при наличии дополнительных сил неэлектрического происхождения.

 

16 Основные итоги, касающиеся электростатики в вакууме

 

 

Интегральная форма	Дифференциальная форма
		(1)
		(2)
		(3)

 

 

Из (1) и (3) мы легко получили уравнение Пуассона:

, где , которое в отсутствие объемных зарядов переходит в уравнение Лапласа . Уравнение Пуассона было решено для некоторых частных случаев.

Затем было введено представление о потенциальной энергии взаимодействия точечных зарядов, которую мы представляем в симметричной форме:

, - потенциал всех зарядов в точке нахождения -го заряда.

Полученные результаты можно обобщить на случай объемных и поверхностных зарядов.

Если разбить эти заряды на элементарные и , то

, где - значение потенциала всех объемных и всех поверхностных зарядов в элементе объема или на элементе поверхности .

Воспользовавшись теоремой Грина

или

(где - любые непрерывные конечные скалярные функции координат, обладающие в области интегрирования производными первого и второго порядков), мы нашли

и ввели представление об объемной плотности энергии .

Поиски минимума потенциальной энергии взаимодействия точечных зарядов привели нас к заключению, что электростатическое взаимодействие не обеспечивает устойчивого состояния статической системы электрических зарядов (теорема Ирншоу).

Физический смысл: разноименные заряды притягиваются вплоть до взаимного уничтожения, а одноименные отталкиваются вплоть до удаления в бесконечность.

Следовательно:

1) атом должен представлять собой динамическую систему, в которой действуют силы неэлектрического происхождения;

2) любая система, где действуют только силы , не будет статически устойчивой; устойчивость нашей планетной системы обусловливается лишь движением планет.

 

 

ДИЭЛЕКТРИКИ

Введение

Диэлектрики – в отличие от металлов и полупроводников – не имеют свободных носителей заряда, свободных – чтобы перемещаться под действием электрического поля.

Два главных типа диэлектриков.

1) Молекулярные диэлектрики. Вещество состоит из нейтральных молекул – это жидкие, аморфные и газообразные вещества, молекулярные кристаллы, в том числе жидкие кристаллы. Вещество в целом нейтрально. В зависимости от типа молекул молекулярные диэлектрики подразделяются на два класса:

а) неполярные, электрический момент каждой молекулы равен нулю, ;

б) полярные, электрический момент каждой молекулы не равен нулю, , но в достаточно большом объеме .

2) Ионные диэлектрики (например, NaCl). Вещество нейтрально в целом, нейтральна каждая элементарная ячейка. Положительные и отрицательные заряды достаточно жестко закреплены в положениях равновесия.

Заряды - в диэлектриках обоих типов – не могут под действием внешнего электрического поля перемещаться таким образом, чтобы приобрести конечную скорость направленного движения (дрейф), они могут лишь немного сместиться из положения равновесия (в ионных кристаллах и в молекулярных неполярных), при этом в каждой молекуле возникает такой, что , или могут повернуться так (в полярных диэлектриках), чтобы (а без поля был равен нулю).

Поэтому с формальной точки зрения можно обе разновидности диэлектриков (в целом нейтральных диэлектриков, ) описывать вектором электрической поляризации системы , где суммирование производится по всем электронам и ядрам системы и - это радиус-вектор, проведенный к заряду из произвольной точки О. Покажем, что смещение начала отсчета не меняет .

 

,

РИС.16-1

 

.

Вычислим вектор электрической поляризации системы, состоящей из двух точечных зарядов и .

 

РИС.16-2