Дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью

Найдём общее решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью

y″ − 2·y′ + y = eˣ/√(9 − x²)

 

Это дифференциальное уравнение может быть решено методом вариации произвольной постоянной. Но существует и другой, более простой, способ. Разберём оба способа решения.
Характеристическое уравнение k² − 2·k + 1 = (k − 1)² = 0 имеет двухкратный действительный корень k₁ = k₂ = 1, откуда одно из общих решений соответствующего однородного дифференциального уравнения (с точностью до постоянной интерирования) y₀ = eˣ.
Домножим обе части исходного дифференциального уравнения на e⁻ˣ:

(y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ = 1/√(9 − x²)

В левой части последнего уравнения — вторая производная произведения y·e⁻ˣ. Покажем это, применив формулу Лейбница:

(y·e⁻ˣ)″ = y″·e⁻ˣ + 2·y′·(e⁻ˣ)′ + y·(e⁻ˣ)″ = (y″ − 2·y′ + y)·e⁻ˣ

Таким образом, дифференциальное уравнение перепишется в виде:

(y·e⁻ˣ)″ = 1/√(9 − x²)

Проинтегрируем дважды.

(y·e⁻ˣ)′ = ∫dx/√(9 − x²) = ∫d(ˣ⁄₃)/√(1 − (ˣ⁄₃)²) = arcsin(ˣ⁄₃) + C₁

y·e⁻ˣ = ∫(arcsin(ˣ⁄₃) + C₁)·dx = [интегрирование по частям] = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x −

− ∫x·d(arcsin(ˣ⁄₃)) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x − ∫x·dx/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + C₁·x +

+ ½ ∫d(9 − x²)/√(9 − x²) = x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂

Домножая на eˣ, получим общее решение дифференциального уравнения:

y = (x·arcsin(ˣ⁄₃) + √(9 − x²) + C₁·x + C₂)·eˣ

Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

. Числовым рядом называется выражение А .

Наряду с { a_n }, рассмотрим последовательность частичных сумм { A_n }:

А ₁ = а ₁; А ₂ = а ₁ +а ₂ = А ₁ +а ₂; А ₃ = а ₁ +а ₂ +а ₃ = А ₂ +а ₃; …;

А_n − n ^я частичная сумма ряда А.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм; Предел этой последовательности называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся.

Примеры. 1) a_n= q^{n- 1}: A = 1 +q+q ² +q ³ +… − сумма геометрической прогрессии. A_n= (1 -qⁿ )/(1 -q)

ряд сходится при | q | < 1, и A =1/(1− q) −

его сумма. Если − ряд расходится.

Теорема. Если ряд А сходится, то a_n → 0 при n →∞.

{ Пусть ряд А сходится и его сумма равна А. Рассмотрим a_n = A_n – A_{n- 1} и перейдем к пределу при

n →∞. Имеем: }

Пример. Рассмотрим ряд

Замечание. Стремление n-го члена ряда к нулю не является достаточным условием сходимости.

(скорость стремления к нулю должна быть достаточно большой) Пример – гармонический ряд

Гармоничный ряд. Ряд арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность определяемая условиями: 1) 2) (d - разность арифметической прогрессии).

Свойства арифметической прогрессии:

Формула n -го члена:

Формулы суммы n первых членов:

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.