Рождение новой квантовой механики.

Центрами исследований в области квантовой механики стали Копенгаген, Геттинген, Кембридж и Мюнхен. Над созданием новой науки работала целая плеяда выдающихся физиков. За короткий период в 12 месяцев, с июня 1925 года по июнь 1926 года, были опубликованы три оригинальных и независимо сделанных варианта полной квантовой теории:

ü Матричная квантовая механика – Вернер Гейзенберг (1901-1976)

ü Волновая механика – Эрвин Шредингер (1877-1961)

ü Квантовая алгебра – Пауль Дирак (1902-1984)

Вскоре было показано, что все три варианта теории эквивалентны.

Наиболее наглядным является вариант теории Шредингера, основанный на концепции волн де Бройля. В развитие идей де Бройля о волновых свойствах вещества Шредингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой Y.

Явный вид Y-функции получается из решения уравнения Шредингера (1926 г.), которое является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики и играет для описания явлений микромира такую же роль, как и законы динамики Ньютона при описании движения в макромире. Для стационарных состояний

,

где Е- полная энергия частицы, U –потенциальная энергия во внешнем силовом поле.

Физическую интерпретацию Y-функции дал М.Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля Y-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах некоторого объема

Заметим, что интеграл от этого выражения по всему объему должен быть равен единице, т.к. выражает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т.е. вероятность достоверного события (условие нормировки).

 

 

Таким образом, квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частиц в пространстве, а лишь предсказывает вероятность, с которой частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Пусть некоторая квантовомеханическая система может находиться в состоянии Y’ и в состоянии Y”. Тогда состояние существует состояние системы

Y= c₁ Y₁ + c₂Y₂+…

где c_n – некоторые постоянные. Квадраты модулей коэффициентов c_n дают вероятность того, что при измерениях, производимых над системой, будут получены результаты, соответствующие нахождению системы в состоянии Y_n.

Для частиц, находящихся в потенциальной яме (нуклоны в ядрах, атомы в молекулах, электроны в металлах), существует вероятность проникновения через потенциальный барьер, высота которого больше ее полной энергии – туннельный эффект.

Пример. Прохождение через барьер.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U₀. По классическим представлениям, если энергия частицы больше высоты барьера, частица беспрепятственно проходит над барьером, Если же энергия частицы меньше высоты барьера, то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону.

Согласно квантовой механике, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера с U<E, а с другой стороны, есть отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет за барьер с U>E. Эта вероятность сильно зависит от ширины барьера. Также коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы.

Туннельный эффект - существенно квантовое явление, невозможное по законам классической механики. Заметим, что в квантовой механике деление энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, т.к. противоречит принципу неопределенности.

 

Атом водорода

Рассмотрение системы, состоящей из ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг ядра электрона (водородоподобный ион) сводится к решению уравнение Шредингера, где U= Ze²/r - силовое поле, в котором движется электрон. Поскольку силовое поле является центрально-симметричным, то уравнение решается в сферических координатах, и собственные волновые функции имеют вид

Y=R_nl(r) Y_lm(q,j),

где Y_lm(q,j) - собственная функция оператора момента импульса.

Волновые функции описывают состояния электронных систем атома. Совокупность точек, вероятность нахождения в которых для электрона высока, определяют размеры и форму электронного облака

Волновая функция зависит от квантовых чисел: n- главное квантовое число, определяет энергию электрона в атоме, l – азимутальное квантовое число, и m – магнитное квантовое число определяют пространственную конфигурацию и ориентацию электронного облака, связаны с орбитальным моментом импульса. Спин является свойством квантовым и релятивистским, его существование вытекает из уравнения Дирака. Спином обладают и другие элементарные частицы. Величина собственного магнитного момента определяется по общим законам квантовой механики, называется спиновым квантовым числом и для электрона равна ½.

Заметим, что энергия электрона зависит только от главного квантового числа n, следовательно, каждому собственному значению энергии (кроме Е₁) соответствует несколько собственных волновых функций, отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Таким образом, атом водорода имеет одно и то же значение энергии, находясь в различных состояниях.

Вернемся к спектру атома водорода. Схему энергетических уровней можно изобразить в виде

 

В квантовой механике доказывается, что при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой (что сопровождается испусканием света) для азимутального квантового числа должно выполняться правило отбора

Dl = ±1

Лекция 8