Излучения абсолютно черного тела

Лекция 7

Квантовая механика

Представление о случайности как о фундаментальном свойстве природы послужило основой для возникновения квантовой физики, в которой потребовалось кардинально изменить исходные взгляды на устройство природы на микроуровне.

Рассмотрим некоторые экспериментально изученные явления, которые не могли быть объяснены с точки зрения классической физики. Период c 1900 по 1930 годы – это время «тридцатилетней войны» квантовой физики с классической.

Излучения абсолютно черного тела

Экспериментальное изучение излучения нагретых тел показало, что любое нагретое тело излучает ЭМ волны (свет) в широком диапазоне, причем интенсивность излучения сильно зависит от его частоты. Кроме того, было обнаружено, что при росте температуры тела частота, соответствующая максимуму интенсивности излучения, сдвигается в область более высоких частот.

Особый интерес представлял характер излучения «абсолютно черного тела», т.е. тела, способного поглощать при любой температуре все падающее на него ЭМ излучение. Внутри АЧ полости тепловое излучение непрерывно поглощается и излучается стенками полости, не выходя из нее. При этом энергия, излучаемая нагретым телом в единицу времени, равна поглощаемой им энергией. Измерения проводились благодаря маленькому отверстию в стенке полости, которое позволяло выйти наружу узкому пучку ЭМ волн.

В 1896 году группа немецких физиков во главе с Вильгельмом Вином создала суперсовременную по тем временам установку для исследования распределения интенсивности излучения по частотам в спектре теплового излучения АЧ тела. Эксперименты позволили установить соотношение между светимостью (мощностью излучения с единицы поверхности) и четвертой степенью абсолютной температуры

W=dT⁴ (d=5.67 10^-8 Вт/м² К⁴).

Был установлен закон Вина, связывающий длину волны, которой соответствует максимум интенсивности излучения, и абсолютную температуру

l= b/T (b=2.9 10^-3 м К).

Было получено распределение интенсивности теплового излучения по частотам, которое по форме напоминала распределение Максвелла. При попытке получить аналитическое выражение, со всей полнотой описывающее экспериментально установленные закономерности, английские «классические физики» лорд Рэлей (1842-1919) и сэр Джеймс Джинс (1877-1948) использовали те же самые теоретические положения, что и Максвелл при создании МКТ. Рэлей и Джинс получили для спектральной плотности энергии (тепловой энергии, излучаемой единицей площади в единичном спектральном интервале) выражение

Это выражение хорошо описывало ход экспериментальной зависимости при низких частотах, но предсказывало бесконечный рост интенсивности в ультрафиолетовой области («ультрафиолетовая катастрофа»).

За решение возникшей проблемы взялся Макс Планк (1858-1947), член Прусской академии, всецело стоявший на позициях классической физики, двадцать лет занимавшийся изучением проблем термодинамики. Исследуя необратимый процесс установления равновесия между веществом и излучением, Планк сделал предположение о том, что испускание и поглощение ЭМ энергии происходит не непрерывно, а отдельными порциями «квантами». Это предположение позволило ему блестяще описать экспериментальные данные. 14 декабря 1900 года Планк представил результаты своей работы Берлинскому физическому обществу – родилась квантовая механика.

Если Рэлей и Джинс предполагали, что ЭМ волне любой частоты соответствует одна и та же энергия, то введенный Планком в физику квант света имеет энергию

E = hn, (h=6.63 10^-34 Дж с).

Несмотря на важность и революционность физических следствий предложенной формулы, на нее не обратили особого внимания до тех пор, пока Эйнштейн не дал первую общую интерпретацию постоянной Планка.

Явление фотоэффекта.

Явление внешнего фотоэффекта было открыто в 1887 г. Генрихом Герцем (1875-1894). Он заметил, что проскакивание искры между заряженными шарами существенно облегчается, если один из шаров осветить ультрафиолетом. В 1888- 1889 г. А.Г.Столетов(1839-1896) систематически исследовал фотоэффект и обнаружил его основные закономерности:

1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;

2) сила тока возрастает с увеличением освещенности пластины;

3) испускаемые под действием света заряды имеют отрицательный знак.

Спустя 10 лет в 1898 г. Леннард и Томсон, измерив удельный заряд испускаемых частиц, установили, что это электроны.

Внешний фотоэффект представляет собой испускание электронов поверхностью металла, освещаемого светом. С точки зрения классической волновой теории увеличение интенсивности падающего на поверхность металла ЭМ излучения должно привести к увеличению кинетической энергии вылетающих с поверхности электронов. Однако эксперимент показал, что энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой.

В 1905 г. А.Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта можно объяснить, если предположить, что свет поглощается некоторыми порциями (квантами). Эйнштейн представил вылет электронов как результат столкновения фотона с энергией hn и электрона металла. Уравнение фотоэффекта

hn = A_вых +mV²_макс/2

Для каждого конкретного металла, характеризуемого своим значением А_вых, существует некоторая минимальная частота падающего света (или, соответственно, максимальная длина волны), при которой фотоэффект возможен. Это граничное значение определяет «красную границу» фотоэффекта

n_кр=А_вых/h; l_кр=hc/ А_вых.

Таким образом, свет не только испускается, но и поглощается в виде квантов.

Эйнштейн выдвинул радикально новое понятие: дуализм «волна-частица», свет представляет собой сложный материальный объект, который обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Его волновые и корпускулярные характеристики связаны соотношениями:

E = hn, p =h/l=hk.

В 1923 году выпускник Парижской Сорбонны принц Луи де Бройль обобщил идею Эйнштейна о дуализме «волна-частица» со света на материю. Де Бройль выдвинул гипотезу о том, что соотношение, связывающее импульс с длиной волны справедливо и для частиц вещества. По его предположению любой частице, имеющей импульс р, может соответствовать волна, длина которой определяется соотношением

l = h/p.

Соотношение де Бройля недолго оставалось гипотезой. Вскоре в опытах по дифракции электронов на кристаллической решетке были доказаны волновые свойства электронов.

Теория атома.

Открытие радиоактивности

В первые годы ХХ века были обнаружены новые типы излучений - радиоактивные, названные a, b, и g-излучением. Явление радиоактивности занимались Антуан Беккерель (1852-1908) и супруги Пьер (1859-1906) и Мари 1867-1934) Кюри.

Опыты Резерфорда

В 1907 г. профессор физики Манчестерского университета Эрнст Резерфорд (1871-1937), изучавший проблемы радиоактивности, и его сотрудники исследовали прохождение a-частиц через тонкую металлическую фольгу. a-частицы испускались некоторым радиоактивным веществом, имели скорость порядка 10⁹ см/с и положительный заряд, равный удвоенному электронному. При прохождении через фольги большинство a-частицы отклонялись от первоначального направления на некоторые незначительные углы. Оказалось однако, что некоторое количество a-частиц отклоняется на углы порядка 180⁰, что согласно классической теории рассеяния, возможно только в том случае, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное ЭМ поле, сконцентрированное в малом объеме и создаваемое зарядом большой массы.

Пример. Противоречие с моделью атома Томсона.

Атом – положительно заряженный шар, внутри которого находится электрон.

При отклонении электрона от положения равновесия возникает квазиупругая сила, под действием которой электрон будет совершать колебания и испускать упругие эл.магн. волны.

Основываясь на экспериментальных данных Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную модель атома:

ü в центре атома расположено тяжелое положительно заряженное ядро с зарядом Ze и размерами, не превышающими 10^-12 м;

ü вокруг ядра расположено Z электронов, распределенных по всему объему, занимаемому атомом, размеры атома порядка

10^-10 м.

В опытах Резерфорда отклонения a-частиц обусловлено действием на них атомных ядер.

Вопрос о том, как конкретно электроны распределены вокруг ядра, оставался открытым. Резерфорд рассматривал возможность планетарной модели атома, согласно которой электрона вращаются вокруг атомного ядра. Ядерная модель, однако, оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Поскольку система неподвижных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия, Резерфорду пришлось предположить, что электроны движутся вокруг ядра по криволинейным траекториям. Но в этом случае электрон движутся с ускорением, и согласно законам классической электродинамики он должен излучать эл.магн. волны, теряя при этом энергию, в результате чего должен в конечном счете упасть на ядро.

Модель атома Бора.

Молодой датский студент Нильс Бор, прибывший в Манчестер в группу Резерфорда, увлекся планетарной моделью атома. В начале 1912 года Бор подготовил для Резерфорда работу «О строении атомов и молекул», в которой предполагал, что в рамках планетарной модели могут существовать некоторые стационарные орбиты электронов, которые каким-то образом должны быть связаны с формулой Планка-Эйнштейна Е=hn. Прорыв был сделан, когда Бор открыл для себя формулу Бальмера.

Для разрешения возникших противоречий в 1913 г. Нильс Бор предложил два постулата:

1. Из бесконечного числа электронных орбит, разрешенных классической механикой, в действительности реализуются только некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определенным квантовым условиям. Электрон, находясь на такой орбите, не излучает ЭМ волн.

2. Излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Величина кванта энергии равна разности энергий стационарных состояний

hn = Е₁ – Е₂

 

Согласно постулату Бора осуществляются только те электронные орбиты, для которых момент импульса кратен постоянной Планка

L = mvR = n h/2p

(впервые предположение о квантовании момента импульса было опубликовано Никольсоном в 1912 году).

Используя классическое описание движения электрона как вращения в кулоновском поле ядра, Бор получил аналитические выражения для радиусов стационарных орбит и энергий соответствующих состояний атома:

, где r₁=0.53 A= 0.53 10^-10 м

, где Ry=-13.6 эВ.

Теория Бора позволила объяснить спектры атома водорода. Рассчитанное теоретически значение постоянной Ридберга лишь на несколько процентов отличалось от полученного Бальмером. Теория Бора сочетала в себе классический и квантовый подходы к описанию атомных процессов. Она явилась переходным этапом на пути создания квантовой механики, в настоящее время имеет, в основном, историческое значение.

Более тщательное экспериментальное изучение спектра атома водорода показало наличие большого числа спектральных линий, которое уже не описывались теорией Бора. Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), теоретик, профессор из Мюнхена, учел эллиптичность орбит электронов, что позволило объяснить дополнительные спектральные линии и потребовало введения дополнительного квантового числа I (орбитального квантового числа). В последнем десятилетии 19 века датчанин Питер Зееман (1865-1943) обнаружил, что в спектре возбужденных атомов водорода, помещенных в магнитное поле, появляются дополнительные спектральные линии (эффект Зеемана). Зоммерфельд предположил, что наблюдаемое явление расщепления спектральных линий в магнитном поле связано с разными ориентациями орбит электрона относительно внешнего поля. Зоммерфельд ввел в рассмотрение еще одно – магнитное квантовое число m.

Более тонкие эксперименты с магнитным полем позволили обнаружить дополнительные спектральные линии (аномальный эффект Зеемана), которые не описывались теорией Бора-Зоммерфельда. Проблемой АЭЗ заинтересовался швейцарский физик-теоретик Вольфганг Паули (1900-1958), который принял приглашение Бора работать в Копенгагене в 1922-23 гг. Размышления над природой АЭЗ привели Паули к мысли о том, что для электрона характерен некий дополнительный вращательный процесс, которому соответствует добавочный момент импульса. Паули предложил ввести в теорию атома четвертое квантовое число, которое может принимать только два значения. Паули стремился понять физическую суть явления и не спешил с публикацией. В то же время два молодых голландских физика Уленбек и Гаудсмит пришли к той же идее. Их руководитель профессор Пауль Эренфест направил их статью для публикации. Впоследствии Уленбек и Гаудсмит получили за эту работу Нобелевскую премию по физике.

Однако оставалось непонятным, почему все электроны в многоэлектронных атомах не переходят в основное состояние. Паули дал ответ на этот вопрос.

Принцип Паули

Итак, состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

главным n (n=1, 2, …)

азимутальным l (l=1, 2, …, n-1)

магнитным m_l (m_l=-l,…,-1,0,+1,…,+l)

спиновым m_s (m_s=+1/2, -1/2)

В нормальном (невозбужденном) состоянии атома электроны должны располагаться на самых низких доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу Паули, в одном и том же атоме (или другой квантовой системе) не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

В атоме каждому n состоянию могут соответствовать n² состояний, отличающихся { n, l, m_l }, и кроме того спиновое квантовое число может принимать значения ±1/2. Таким образом,

n=1 – 2 электрона,

n=2 – 8 электронов,

n=3 – 18 электронов и т.д.

Совокупность электронов, имеющих одинаковые значения главного квантового числа n, образует оболочку.

Значение n 1 2 3 4 …

Обозначение оболочки K L M N …

Принцип Паули дает объяснение повторяемости свойств атомов. Аналогичными свойствами обладают атомы с одинаковым количеством электронов во внешней оболочке (для полностью заполненной оболочки характерно равенство нулю суммарного орбитального и спинового моментов) (см. периодическую систему элементов Менделеева: щелочные металлы, металлы, галогены, инертные газы).

Электронные волны в атоме.

Квантовые условия Бора получили простое объяснение на основе дуализма «волна-частица», примененного к находящимся на стационарных орбитах электронам. Связанные с электронами волны рассматривались как стоячие волны, подобные тем, что возникают на закрепленной с двух сторон струне. Тогда на длине орбиты должно укладываться целое число волн

2pR = n l.

Использую соотношение де Бройля, легко получить условие квантования момента импульса.

«Старая» квантовая теория, созданная Планком, Эйнштейном, де Бройлем, Резерфордом, Бором, Зоммерфельдом, Паули и др., смогла объяснить:

ü спектр атома водорода;

ü квантование энергии в стационарных состояниях атома;

ü периодическую систему Менделеева.

Были заложены основополагающие идеи новой квантовой механики, однако полуклассическая теория не смогла ответить на многие важные вопросы.

Атом водорода

Рассмотрение системы, состоящей из ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг ядра электрона (водородоподобный ион) сводится к решению уравнение Шредингера, где U= Ze²/r - силовое поле, в котором движется электрон. Поскольку силовое поле является центрально-симметричным, то уравнение решается в сферических координатах, и собственные волновые функции имеют вид

Y=R_nl(r) Y_lm(q,j),

где Y_lm(q,j) - собственная функция оператора момента импульса.

Волновые функции описывают состояния электронных систем атома. Совокупность точек, вероятность нахождения в которых для электрона высока, определяют размеры и форму электронного облака

Волновая функция зависит от квантовых чисел: n- главное квантовое число, определяет энергию электрона в атоме, l – азимутальное квантовое число, и m – магнитное квантовое число определяют пространственную конфигурацию и ориентацию электронного облака, связаны с орбитальным моментом импульса. Спин является свойством квантовым и релятивистским, его существование вытекает из уравнения Дирака. Спином обладают и другие элементарные частицы. Величина собственного магнитного момента определяется по общим законам квантовой механики, называется спиновым квантовым числом и для электрона равна ½.

Заметим, что энергия электрона зависит только от главного квантового числа n, следовательно, каждому собственному значению энергии (кроме Е₁) соответствует несколько собственных волновых функций, отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Таким образом, атом водорода имеет одно и то же значение энергии, находясь в различных состояниях.

Вернемся к спектру атома водорода. Схему энергетических уровней можно изобразить в виде

 

В квантовой механике доказывается, что при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой (что сопровождается испусканием света) для азимутального квантового числа должно выполняться правило отбора

Dl = ±1

Лекция 8

Принцип неопределенности.

Своеобразие микрочастиц проявляется в том, что не для всех динамических переменных могут быть одновременно получены точные значения. Так, любая микрочастицане может иметь одновременно точных значений координаты и импульса

Dp Dx ³ h/2

И энергии и времени

DE Dt ³ h/2

Эти соотношения называются соотношениями неопределенности, а утверждение о том, что произведение неопределенностей двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины больше постоянной Планка называется принципом неопределенностей Гайзенберга (1927 г.).

Соотношение неопределенностей является фундаментальным принципом квантовой механики, позволяющих получить ряд важных результатов.

Пример. Если бы электрон упал на ядро, то его координата и импульс одновременно имели бы точное значение, что несовместимо с принципом неопределенности.

Соотношение неопределенностей является предпосылкой недетерминистского статистического описания микрообъектов. Оно отражает вероятностный характер поведения микрочастиц, в результате чего вместо классической траектории для микрочастицы следует использовать распределения вероятности обнаружения частицы в разных точках пространства.

Соотношение неопределенностей является конкретным выражением более общего положения – принципа дополнительности Бора:

При экспериментальном исследовании микрообъекта могут быть получены точные данные либо о его энергиях и импульсах., либо о поведении в пространстве и времени. Эти две взаимоисключающие картины – энергетически-импульсная и пространственно-временная, -получаемые при взаимодействии объекта с соответствующими макроскопическими измерительными приборами, дополняют друг друга.

С тоски зрения принципа дополнительности соотношение неопределенностей можно рассматривать как способ сохранить возможность описания неклассических объектов с помощью классических понятий – координаты и импульса путем ограничения области совместного применения этих понятий.

Принцип дополнительности не ограничивается микромиром, а является очень широким методологическим принципом науки вообще:

Всякое истинно глубокое явление природы не может быть однозначно определено c помощью одного понятия, а требует для своего определения по крайней мер двух взаимоисключающих дополнительных понятий ( физическая картина – математическое описание) На вопрос, какое понятие дополнительно к понятию истинности, Бор ответил: «ясность».

Это выражается в неклассической концепции неконтролируемого и неустранимого случайного воздействия окружения, которое учитывается в понятии микросостояния, а также в неклассической концепции измерения.

Прибор является макроскопическим окружением для микрообъекта и сам является источником некоторого состояния микрообъекта, которое обнаруживается в измерении.

Соотношение неопределенностей ограничивает экспериментально достижимую точность измерения характеристик квантовых объектов. При точном измерении координаты микрочастицы ее импульс благодаря взаимодействию с макроскопическим измерительным прибором претерпевает неконтролируемое изменение. Причем речь идет не о погрешности измерения, а о принципиальном ограничении на информацию о квантовом объекте, выраженную языком классической физики.

Лекция 7

Квантовая механика

Представление о случайности как о фундаментальном свойстве природы послужило основой для возникновения квантовой физики, в которой потребовалось кардинально изменить исходные взгляды на устройство природы на микроуровне.

Рассмотрим некоторые экспериментально изученные явления, которые не могли быть объяснены с точки зрения классической физики. Период c 1900 по 1930 годы – это время «тридцатилетней войны» квантовой физики с классической.

Излучения абсолютно черного тела

Экспериментальное изучение излучения нагретых тел показало, что любое нагретое тело излучает ЭМ волны (свет) в широком диапазоне, причем интенсивность излучения сильно зависит от его частоты. Кроме того, было обнаружено, что при росте температуры тела частота, соответствующая максимуму интенсивности излучения, сдвигается в область более высоких частот.

Особый интерес представлял характер излучения «абсолютно черного тела», т.е. тела, способного поглощать при любой температуре все падающее на него ЭМ излучение. Внутри АЧ полости тепловое излучение непрерывно поглощается и излучается стенками полости, не выходя из нее. При этом энергия, излучаемая нагретым телом в единицу времени, равна поглощаемой им энергией. Измерения проводились благодаря маленькому отверстию в стенке полости, которое позволяло выйти наружу узкому пучку ЭМ волн.

В 1896 году группа немецких физиков во главе с Вильгельмом Вином создала суперсовременную по тем временам установку для исследования распределения интенсивности излучения по частотам в спектре теплового излучения АЧ тела. Эксперименты позволили установить соотношение между светимостью (мощностью излучения с единицы поверхности) и четвертой степенью абсолютной температуры

W=dT⁴ (d=5.67 10^-8 Вт/м² К⁴).

Был установлен закон Вина, связывающий длину волны, которой соответствует максимум интенсивности излучения, и абсолютную температуру

l= b/T (b=2.9 10^-3 м К).

Было получено распределение интенсивности теплового излучения по частотам, которое по форме напоминала распределение Максвелла. При попытке получить аналитическое выражение, со всей полнотой описывающее экспериментально установленные закономерности, английские «классические физики» лорд Рэлей (1842-1919) и сэр Джеймс Джинс (1877-1948) использовали те же самые теоретические положения, что и Максвелл при создании МКТ. Рэлей и Джинс получили для спектральной плотности энергии (тепловой энергии, излучаемой единицей площади в единичном спектральном интервале) выражение

Это выражение хорошо описывало ход экспериментальной зависимости при низких частотах, но предсказывало бесконечный рост интенсивности в ультрафиолетовой области («ультрафиолетовая катастрофа»).

За решение возникшей проблемы взялся Макс Планк (1858-1947), член Прусской академии, всецело стоявший на позициях классической физики, двадцать лет занимавшийся изучением проблем термодинамики. Исследуя необратимый процесс установления равновесия между веществом и излучением, Планк сделал предположение о том, что испускание и поглощение ЭМ энергии происходит не непрерывно, а отдельными порциями «квантами». Это предположение позволило ему блестяще описать экспериментальные данные. 14 декабря 1900 года Планк представил результаты своей работы Берлинскому физическому обществу – родилась квантовая механика.

Если Рэлей и Джинс предполагали, что ЭМ волне любой частоты соответствует одна и та же энергия, то введенный Планком в физику квант света имеет энергию

E = hn, (h=6.63 10^-34 Дж с).

Несмотря на важность и революционность физических следствий предложенной формулы, на нее не обратили особого внимания до тех пор, пока Эйнштейн не дал первую общую интерпретацию постоянной Планка.

Явление фотоэффекта.

Явление внешнего фотоэффекта было открыто в 1887 г. Генрихом Герцем (1875-1894). Он заметил, что проскакивание искры между заряженными шарами существенно облегчается, если один из шаров осветить ультрафиолетом. В 1888- 1889 г. А.Г.Столетов(1839-1896) систематически исследовал фотоэффект и обнаружил его основные закономерности:

1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;

2) сила тока возрастает с увеличением освещенности пластины;

3) испускаемые под действием света заряды имеют отрицательный знак.

Спустя 10 лет в 1898 г. Леннард и Томсон, измерив удельный заряд испускаемых частиц, установили, что это электроны.

Внешний фотоэффект представляет собой испускание электронов поверхностью металла, освещаемого светом. С точки зрения классической волновой теории увеличение интенсивности падающего на поверхность металла ЭМ излучения должно привести к увеличению кинетической энергии вылетающих с поверхности электронов. Однако эксперимент показал, что энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой.

В 1905 г. А.Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта можно объяснить, если предположить, что свет поглощается некоторыми порциями (квантами). Эйнштейн представил вылет электронов как результат столкновения фотона с энергией hn и электрона металла. Уравнение фотоэффекта

hn = A_вых +mV²_макс/2

Для каждого конкретного металла, характеризуемого своим значением А_вых, существует некоторая минимальная частота падающего света (или, соответственно, максимальная длина волны), при которой фотоэффект возможен. Это граничное значение определяет «красную границу» фотоэффекта

n_кр=А_вых/h; l_кр=hc/ А_вых.

Таким образом, свет не только испускается, но и поглощается в виде квантов.

Эйнштейн выдвинул радикально новое понятие: дуализм «волна-частица», свет представляет собой сложный материальный объект, который обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Его волновые и корпускулярные характеристики связаны соотношениями:

E = hn, p =h/l=hk.

В 1923 году выпускник Парижской Сорбонны принц Луи де Бройль обобщил идею Эйнштейна о дуализме «волна-частица» со света на материю. Де Бройль выдвинул гипотезу о том, что соотношение, связывающее импульс с длиной волны справедливо и для частиц вещества. По его предположению любой частице, имеющей импульс р, может соответствовать волна, длина которой определяется соотношением

l = h/p.

Соотношение де Бройля недолго оставалось гипотезой. Вскоре в опытах по дифракции электронов на кристаллической решетке были доказаны волновые свойства электронов.

Теория атома.