Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

Визначники

Основні теоретичні відомості

1. Вираз

називають визначником (детермінантом) другого порядку.

 

2. Вираз

називають визначником (детермінантом) третього порядку. Для запам’ятовування цієї формули зручно користуватися схемою:

+ –

3. Основні властивості визначників.

3.1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

3.2. Визначник змінить знак на протилежний, якщо переставити місцями два рядки (два стовпці).

3.3. Спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

3.4. Визначник дорівнює нулю, якщо:

а) всі елементи рядка (стовпця) дорівнюють нулю;

б) два рядки (стовпці) однакові;

в) два рядки (стовпці) пропорційні.

3.5. Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

3.6. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Мінором елемента визначника називають визначник, утворений із даного визначника викреслюванням -го рядка та -го стовпця. Алгебраїчним доповненням елемента називають його мінор помножений на :

Визначники -го порядку обчислюють, використовуючи властивості 3.6 та 3.5.

Приклади розв’язання типових задач

 

Приклад 1. Обчислити визначники:

1. а) ; б) ; 2. ; 3. .

 

► 1. а) . б)

2. ◄

На практиці зручно, коли частина елементів рядка (стовпця) дорівнює нулю (і чим більше нульових елементів, тим менше обчислень). Тому доцільно спочатку визначник перетворити так, щоб усі елементи деякого рядка (стовпця), крім одного, дорівнювали нулю, зазвичай використовуючи для цього властивості визначників (властивість 3.5). Тоді розклад визначника за елементами цього рядка (стовпця) містить лише один додаток.

Приклад 2.

Приклад 3.. Розв’язати рівняння:

► ◄

 

Вправи для самостійної роботи

 

Обчислити визначники:

 

1. . 2. 3. 4.

 

Розв’язати рівняння:

 

5. 6.

 

Відповіді: 1. -27. 2. 12. 3. 1. 4. 180. 5. {0; -2}. 6.

МАТРИЦІ

Основні теоретичні відомості

Прямокутну таблицю

 

яка складається з елементів , називають матрицею - розмірності. Коротко матрицю позначають так:

Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник (або , | А|)

 

Квадратну матрицю , визначник якої не дорівнює нулю, називають невиродженою. Якщо , то матрицю називають виродженою.

 

 

Дії над матрицями

 

Нехай - матриці однакової розмірності.

1. Сумою матриць є матриця рівна .

2. Добутком довільного дійсного числа на матрицю є матриця .

3. Різницю матриць визначають, як суму матриці і матриці помноженої на : .

4. Добуток матриць.

Операція множення матриць існує лише для узгоджених матриць. Матриці ( - перша матриця, - друга матриця) називають узгодженими, якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці . В цьому випадку

У загальному випадку .

Обернена матриця

Для кожної невиродженої матриці існує обернена матриця . обернена до , якщо виконуються рівності: , де

 

 

де - алгебраїчне доповнення елемента .

Матричні рівняння

Нехай потрібно знайти матрицю , що задовольняє матричне рівняння , де - невироджена матриця.

Помноживши справа обидві частини рівняння на обернену матрицю , дістанемо:

Аналогічно

де - невироджена матриця.

 

Ранг матриці

Нехай задано матрицю розмірності . Виділимо в матриці будь-які рядків і стільки ж стовпців, де не більше чисел .

Визначник порядку , складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором - го порядку матриці .

Рангом матриці називають найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці і позначають або .

На практиці відшукання рангу ґрунтується на такому твердженні. Ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати елементарні перетворення:

1) переставити місцями два рядки (стовпці);

2) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на ненульовий множник;

3) додати до елементів рядка (стовпця) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Скориставшись елементарними перетвореннями, матрицю можна звести до вигляду, коли всі її елементи, крім , дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює . Якщо матрицю звести до верхньої трикутної або трапецевидної, то ранг матриці А дорівнює кількості ненульових рядків (див. приклад 5).

 

Метод Крамера

Нехай дано систему вигляду

(1)

де є R, – невідомі змінні.

Головна матриця системи

Визначник цієї матриці

(2)

 

Якщо , то система (1) має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

де одержуємо відповідно заміною стовпчика коефіцієнтів при невідомому в (2) на стовпчик вільних членів.

Якщо , а принаймні один із визначників , то система (1) несумісна.

Якщо і всі дорівнюють нулю, то система (1) має безліч розв’язків.

 

Приклад 9. Розв’язати систему за формулами Крамера:

 

 

►

 

 

 

 

Відповідь: ◄

Зауважимо, що методом Крамера можна розв’язати систему, у якої кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь і головний визначник .

Матричний метод

СЛАР можна записати у вигляді:

 

де

Якщо і , то єдиний розв’язок системи можна знайти за формулою

 

Приклад 10. Розв’язати систему матричним методом:

 

 

►

 

 

 

 

◄

 

 

Метод Гаусса

 

Метод Гаусса використовують для розв’язання СЛАР довільного вигляду. Процес розв’язання за методом Гаусса складається з двох етапів. Перший етап (прямий хід) ґрунтується на елементарних перетвореннях рядків системи, а саме, система залишається рівносильною початковій системі, якщо:

1) переставити місцями два рівняння;

2) помножити обидві частини рівняння на ненульовий множник;

3) додати почленно до рівняння елементи іншого рівняння, помножені на одне й те саме число.

За допомогою таких перетворень СЛАР зводять до трапецевидного (або трикутного) вигляду:

(A)

 

На другому етапі (зворотний хід) послідовно визначають невідомі системи, рухаючись від останнього рівняння до першого.

Проаналізуємо систему (A), в якій - ранг основної матриці . Якщо , то система (A) набирає трикутного вигляду

 

 

Одержана система, отже, і початкова система, має єдиний розв’язок, який визначаємо так. Спочатку з останнього рівняння знайдемо , після цього з передостаннього рівняння знайдемо ; піднімаючись по системі від останнього рівняння до першого, знайдемо всі інші невідомі.

Якщо , то може бути два випадки:

1) хоча б одне з чисел не дорівнює нулю. Тоді система не має розв’язків, тобто несумісна;

2) усі числа рівні нулю. Тоді система має безліч розв’язків, тобто невизначена.

Оскільки СЛАР взаємно однозначно відповідає розширена матриця, то елементарні перетворення рівнянь системи рівносильні перетворенню рядків розширеної матриці. Тому при розв’язуванні СЛАР за методом Гаусса будемо працювати тільки з розширеною матрицею.

 

Критерій сумісності СЛАР

Нехай задано систему вигляду:

 

 

Складемо головну і розширену матриці цієї системи

 

Теорема Кронекера - Капеллі

Для того, щоб СЛАР була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг головної матриці дорівнював рангу розширеної матриці .

Якщо ранг головної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг головної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший від кількості невідомих, то система має безліч розв’язків.

Якщо , то система несумісна.

 

Приклад 11. Розв’язати систему за методом Гауса.

 

 

► Записуємо розширену матрицю системи і, виконуючи елементарні перетворення над рядками, зводимо її до ступінчатого вигляду:

 

~

 

~ ~

 

~ .

 

r(A) = r(B) = 4 = n (n – кількість невідомих) => система сумісна.

Останній рядок відповідає рівнянню

звідки

Далі записуємо рівняння:

 

Отже, розв’язок системи: ◄

 

Приклад 12.

►

 

Розв’язання аналогічне завданню (1).

 

~ ~

 

~ ~ ~

 

r(A) = r(B) = 3 < n = 4.

Задана система має безліч розв’язків. Рухаючись від останнього рівняння до першого, послідовно знаходимо:

Відповідь: ◄

 

 

Вправи для самостійної роботи

Розв’язати системи рівнянь:

 

1. 2.

 

Розв’язати системи рівнянь, використавши метод Гаусса:

 

3. , 4. , 5. .

 

Відповіді: 1. 2. 3. .

4. де 5.

 

ВЕКТОРИ

ЛІНІЇ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

ПЛОЩИНА

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

Визначники