Показатели особенностей формы распределения.

В тех случаях, когда форма распределения анализируется на ее близость к нормальной форме, расхождение между ними оценивается показателями асимметрии и эксцесса.

1. Нормальное распределение является симметричным.

Для симметричных распределений имеют место следующие характеристики:

=Mo=Me ( т.е.характеристики центра распределения совпадают)

Если эти соотношения сильно нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения.

Показатели асимметрии оценивают смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения - вершина кривой находится не в середине, а сдвинута (рис.3).

а) правосторонняя асимметрия б)левосторонняя асимметрия

 

Рис 3. Кривые асимметричных распределений

(пунктиром обозначена нормальная кривая

 

Если вершина сдвинута влево, то правая часть кривой оказывается длиннее левой (рис. 3а), т.е. имеет место правосторонняя асимметрия, характеризующаяся неравенством

> Me>Mo,

что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака.

 

Если же вершина кривой сдвинута вправо и левая часть оказывается длиннее правой, то асимметрия левосторонняя (рис. 3б), для которой справедливо неравенство

< Me<Mo,

означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака.

 

Чем больше величина расхождения между , Me, Mo, тем более асимметричен ряд. Разности

являются простейшими показателями симметрии в рядах распределения.

 

В нормальном и близких к нему распределениях основная масса единиц (почти 70%) располагается в центральной зоне ряда, в диапазоне

().

Для оценки асимметричности распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона:

.

При правосторонней асимметрии As_п>0, при левосторонней As_п<0. Если As_п=0, вариационный ряд симметричен.

 

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии As, вычисляемый по формуле

,

где n – число единиц совокупности.

В симметричных распределениях As=0.

при As>0 имеется правосторонняя асимметрия,

при As<0 – левосторонняя.

Правосторонняя асимметрия означает, что в распределении появляются преимущественно более высокие значения признака, а левосторонняя – более низкие значения признака,

 

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|As| 0,25 - асимметрия незначительная;

0,25<|As| 0, 5 - асимметрия заметная (умеренная); |As|>0,5 - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты As_п и As являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

2. Показатель эксцесса характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой (рис.4).

а) островершинное б) плосковершинное

Рис.4. Кривые распределения с ненулевым эксцессом

(пунктиром обозначена нормальная кривая).

 

Для оценки расхождений в степени крутизны кривых (при одинаковой силе вариации) применяется коэффициент эксцесса Ek:

.

 

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Это объясняется тем, что за базу сравнения принята кривая нормального распределения, являющаяся симметричной. Относительно вершины нормальной кривой и определяется выпад вверх или вниз вершины теоретической кривой эмпирического распределения.

 

При этом:

· если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная (рис. 3а). Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественномпоявлении в данных значений близких к средним;

· если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной (рис. 3б). Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin .

 

Для нормального распределения Ek=0, поэтому чем больше абсолютная величина | Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального.

В частности очень большая отрицательная величина Ek означает преобладание у признака крайних значений, причем одновременно и более низких, и более высоких. При этом в центральной части распределения может образоваться «впадина» (U –образной формы), превращающая распределение в двухвершинное, что является индикатором неоднородности совокупности.

 

Существуют распределения, отличные от нормального, например, распределение Пуассона (рис.5). По этому закону описываются инвестиции (чем больше инвестиции, тем реже они поступают), а также кредиты (мелкие кредиты выдаются часто, а чем больше кредит, тем реже его выдают).

 

 

f

 

 

х

Рис.5. График распределения Пуассона

.

 

Дополнительные примеры расчета показателей вариации

Задачи из "Практикума по общей теории статистки"

(авторы О.В.Лосева, К.М.Буданов)

 

(в практикуме дисперсии обозначены через s ², а не σ^2,

среднее квадратичное отклонение - через s)

 

Пример 1. Имеются следующие данные о чистой прибыли, полученной предприятиями:

№ предприятия
Чистая прибыль, млн. руб.

Вычислить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Решение.

Вычисления удобно оформить в виде вспомогательной таблицы

 

№ единицы совокупности	Чистая прибыль xi, млн. руб.
		– 10,6	10,6		112,36
		– 5,6	5,6		31,36
		– 0,6	0,6		0,36
		7,4	7,4		54,76
		9,4	9,4		88,36
Сумма			33,6		287,2

Вычислим среднюю арифметическую:

млн. руб.

Размах вариации:

млн. руб.

Среднее линейное отклонение:

млн. руб.

Дисперсия:

Для расчёта дисперсии можно также воспользоваться формулой

Среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Коэффициент вариации:

Таким образом, средний размер чистой прибыли по совокупности предприятий составляет 30,6 млн. рублей. При этом прибыль отдельных предприятий отличается от среднего размера в среднем на 7,58 млн. рублей. Данная совокупность предприятий является однородной, поскольку коэффициент вариации не превышает 33%.

Пример 2. Имеются данные о распределении продукции, произведённой работниками завода:

Число единиц продукции, шт.	Число рабочих, чел.

Вычислить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Решение:

Вычисления удобно оформить в виде таблицы

Число единиц продукции xi, шт.	Число рабочих fi, чел.
			– 2
			– 1
Итого

Вычислим среднюю арифметическую:

шт.

Размах вариации:

шт.

Среднее линейное отклонение:

шт.

Дисперсия:

Для расчёта дисперсии можно также воспользоваться формулой . Составим вспомогательную таблицу:

 

Итого

Отсюда получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

шт.

Коэффициент вариации:

Таким образом, каждый работник предприятия в среднем изготовил по 10 единиц продукции. При этом число единиц продукции, изготовленных отдельными работниками, отличается от среднего значения в среднем на 1,2 единицы. Данная совокупность работников является однородной, поскольку коэффициент вариации не превышает 33%.

Пример 3. Имеются данные о распределении работников некоторого предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

 

Заработная плата, тыс. руб.	Число работников, чел.
14 – 16
16 – 18
18 – 20
20 – 22

Вычислить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Решение:

Данные в задаче представлены в виде интервального ряда, для решения необходимо перейти к дискретному ряду.

 

 

Заработная плата, тыс. руб.	Число работников fi, чел.	xi
14 – 16				3,4		11,56	115,6
16 – 18				1,4		1,96	58,8
18 – 20				0,6		0,36	14,4
20 – 22				2,6		6,76	135,2
Итого

Вычисляем среднюю арифметическую:

тыс. руб.

Размах вариации:

тыс. руб.

Среднее линейное отклонение:

тыс. руб.

Дисперсия:

Для расчёта дисперсии можно также воспользоваться формулой . Составим вспомогательную таблицу:

 

Итого

Отсюда получаем:

Среднее квадратическое отклонение:

тыс. руб.

Коэффициент вариации:

Таким образом, средняя заработная плата работников предприятия составляет 18,4 тыс. рублей. При этом заработная плата отдельных работников отличается от среднего значения в среднем на 1,8 тыс. рублей. Данная совокупность работников является однородной, поскольку коэффициент вариации не превышает 33%.