Среднее квадратическое отклонение s показывает, на сколько

в среднем отклоняются индивидуальные значения признака x_i

от их средней величины .

 

Размерность отклонения s совпадает с размерностью самого признака, поэтому этот показатель экономически хорошо интерпретируется. Отклонения, выраженные в s, принято считать стандартными.

Дисперсия s² оценивает средний квадрат отклонений (x_i - ). Величина s очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). На расчете дисперсии основаны многие статистические показатели.

2.Относительные показатели вариации признака.

 

Это показатели интенсивности вариации, измеряемые как отношение абсолютного показателя вариации к среднему значению признака:

V_s= , V_d= , V_R=

Среди показателей интенсивности наиболее часто применяется коэффициент вариации V_s, который выражается в процентах и вычисляется по формуле

(9)

Величина V_s оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины.

 

Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V_s 40% - колеблемость незначительная;

40%< V_s 60% - колеблемость средняя (умеренная);

V_s>60% - колеблемость значительная. (10)

 

Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s 33% (11)

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Коэффициент вариации V_s часто используется для сравнения колеблемости признаков в различных рядах распределения, когда сравнивается вариация разных признаков в одной и той же совокупности или же вариация одного и того же признака в различных совокупностях, имеющих разные средние .

Пример.

Имеется ряд распределения (табл.6.1) сотрудников по стажу работ.

 

Таблица 6.1

Распределение сотрудников по стажу работ

Стаж, лет	Число работающих, чел.
1-4
4-7
7-10

Определить размах вариации R, среднее линейное отклонение , среднее квадратическое отклонение s, дисперсию s^2, коэффициент вариации V_s.

 

Поскольку исходные данные заданы интервальным рядом, для расчетов используется взвешенная форма показателей (5) - (7), т.е. с учётом частот f.

 

R = Xmax - Xmin = 10 – 1 = 9 лет

 

Для вычисления остальных показателей вариации необходимо построить вспомогательную расчетную таблицу.

Таблица 6.2

Расчётная таблица для оценки дисперсии

Стаж лет, xj	Число работников fj	x'j	x'j • fj	_ x'j – x	_ (x'j – x)^2	_ (x'j – x)^2• fj
1-4		2,5	10,0	-2,5	6,25	25,00	2,5
4-7		5,5	27,5	0,5	0,25	1,25	0,5	2,5
7-10		8,5	17,0	3,5	12,25	24,50	3,5	7,0
Итого			54,5			50,75		19,5

^{i=1,2, …, 11 j=1, 2, 3}

лет = 19,5/11 = 1,77 лет.

года.

2,1 года - это среднее отклонение стажа от среднего стажа 5 лет.

Вывод:

Анализ полученных данных говорит о том, что стаж работников фирмы отличается от среднего стажа (5,0 лет) в среднем на 2,1 года, что составляет 42,0%.

Значение V_s > 33%, следовательно, вариация стажа велика, и следовательно средний стаж не является типичной величиной. Её нельзя считать надёжной характеристикой совокупности работников, а саму совокупность нет оснований считать однородной по производственному стажу.

 

3.Правило сложения дисперсий и его применение

3.1. Виды дисперсий в совокупности, разделеннойна группы.

Правило сложения дисперсий.

 

В совокупности, разделенной на группы, существуют различные виды дисперсии:

 

Общая дисперсия

Межгрупповая дисперсия

Внутригрупповая дисперсия

 

Дадим определение этих трех видов дисперсии, обозначая факторный признак – Х, результативный – Y,

 

Введем обозначения:

 

1 гр. 1 г р.

2 гр.

3 гр.

k гр.

n1.

n2.

n3.

nk.

 

n=n₁+n₂+…+n_k;

k – количество групп;

– среднее значение результативного признака У в j -ой группе;

– общая средняя по всей совокупности;

n – число единиц совокупности

 

Содержательный смысл этих 3-х дисперсий:

 

1. Общая дисперсия s²_общ характеризует вариацию результативного признака У под воздействием всех факторов, влияющих на У (т.е. определяющих различия в значениях признака У).

 

Она вычисляется по формуле:

(12)

 

2. Среди множества факторов { Х}, влияющих на результативный признак У, выделим один основной фактор Х, влияние которого на У будем изучать. Для этой цели используется межгрупповая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия δ ²_x – характеризует вариацию У под воздействием только выделенного фактора Х

(греческая буква δ – дельта).

 

Расчетная формула:

(13)

где – групповые средние;

– общая средняя;

– численность единиц в j-ой группе;

k – количество групп.

3. Внутригрупповая дисперсия – определяет вариацию признака У внутри j - ой группы.

 

(14)

 

где: y_i – индивидуальные значения признака внутри группы;

– среднее значение признака в группе с номером j;

n_j – численность единиц в j-ой группе.

 

Cредняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле

(15)

 

Существует следующее ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ: