Моделирование задачи кинематики определение.

Положение каждого звена (жесткого множества геометрических эле' ментов) в трехмерном пространстве описывается шестью или более вещественными параметрами (в зависимости от способа параметризации трансформации – углы Эйлера, экспоненциальная параметризация, кватернионы), дополнительные переменные используются для моделирования управления кинематическими парами. Как пра' вило, одни переменные могут принимать значения внутри некоторого замкнутого интервала (например, от 0 до р), а другие – пробегать всю вещественную прямую. Таким образом, положение механизма полностью описывается вектором из n значений. Соответствующее подпространство Rn в этом случае называется конфигурационным пространством. Для моделирования кинематических аспектов данный вектор заменяется векторфункцией p(t), p: Rn → R, где t пробегает значения от 0 до 1. При этом положение звеньев должно удовлетворять наложенным кинематическим связям, описываемым системой из m уравнений C: Rn → Rm. Положение, описываемое в конфигурационном пространстве точкой p(0), соответствует начальному положению звеньев механизма. Положение p(1) – целевая конфигурация, которую необходимо найти для решения прямой или обратной задачи кинематики. В каждый момент времени должно выполняться тождество C(p(t)) = 0. Целевая конфигурация задается указанием желательных значений для некоторых координат в конфигурационном пространстве: для прямой задачи – требуемых значений переменных управления кинематическими парами, для обратной задачи – требуемых значений переменных, задающих положение нужных звеньев в пространстве. В целях получения натурального решения логично задать целевые значения и для всех остальных переменных – равные их начальным значениям. Тем самым будет гарантировано нахождение минимального решения (самого короткого движения механизма). В этих условиях положение целевой конфигурации в конфигурационном пространстве задается точкой p*. Заметим, что в общем случае C(p*) ≠ 0. Но даже если целевая конфигурация удовлетворяет всем кинематическим связям, для решения задачи кинематики требуется найти траекторию движения механизма p(t).

Дифференциальное уравнение движения Наиболее натуральным способом

моделирования движения механизма является представление его в виде решения дифференциального уравнения. В каждой точке траектории осуществляется линеаризация системы уравнений C(p(t)): C(p(t + dt) = JC(p)pdt, где JC(p) – матрица Якоби (частных производных) системы уравнений C, вычисленная в точке p. В предположении C(p(t)) ≡ 0 для всех t получаем JC(p)p = 0, то есть. Предположим, M – ортонормированный базис Ker JC(p). Тогда линейный оператор проектирования на это подпространство будет иметь вид MMT, а дифференциальное уравнение кинематики запишется как то есть вектор скорости движения совпадает с проекцией целевой конфигурации на ядро матрицы Якоби. Тем самым обеспечивается движение, локально не нарушающее кинематические ограничения и в то же время направленное на достижение целевой конфигурации.

2.12. Как осуществляется планирование движения с помощью дорожной карты?

Задача планирования движения задается описанием: окружения; устройства (манипулятора, робота); начальной и целевой конфигураций устройства. Решением задачи является свободный от столкновений допусти мый путь. Окружение описывается геометрической моделью, задаю' щей форму и положение всех препятствий. Устройство также описывается геометрической моделью – множеством перемещаемых тел, связанных кинематическими парами. Ключевым в планировании движения является уже известное нам понятие конфигурационного пространства, которое представляет собой подмножество пространства параметров, описывающих положение перемещаемого устройства.

 

Современный подход к решению задачи планирования движения состоит в использовании понятия случайного поиска дорожной карты (roadmap). Дорожная карта – это граф, каждая вершина которого представляет собой точку в конфигурационном пространстве, описывающую положение устройства, не находящегося в контакте с препятствиями, а ребро представляет собой свободный от столкновений путь. Вершины графа находятся случайным образом путем расстановки заданного количества точек в конфигурационном пространстве и проверки их на столкновения с препятствиями. Ребрами соединяются соседние вершины, если между ними существует тривиальный свободный от столкновений путь (рис. 30).

Таким образом, для построения дорожной карты необходимо уметь выполнять три действия: проверить заданную конфигурацию на отсутствие пересечений частей устройства и препятствий; вычислить набор простейших манипуляций, необходимых для перемещения устройства из одной точки пространства в другую без учета препятствий; проверить что объем, заметаемый устройством при своем движении вдоль пути, не пересекается с препятствиями. С готовым графом дорожной карты задача планирования движения становится намного проще. Прежде всего, в граф добавляются точки, которые соответствуют начальной и целевой позиции устройства, и ребра, соединяющие их с ближайшими вершинами дорожной карты при наличии тривиального свободного от столкновений пути между ними. Затем задача поиска свободного от столкновений пути сводится к задаче поиска минимального пути на графе. Как правило, после нахождения в конфигурационном пространстве дискретной траектории требуется ее сгладить, чтобы минимизировать движение устройства.