Раздел 3 типовые динамические звенья

 

Любую систему автоматики можно рассматривать с двух точек зрения:

- качественной;

- количественной

 

При качественном анализе автоматической системы мы рассматриваем ее как совокупность взаимодействующих между собой функциональных элементов (датчики, усилители, задающее устройство, объект регулирования и т.п.), которые различаются между собой по конструкции и по принципу действия.

Для количественного анализа процессов, происходящих в системе (т.е. математического ее описания), систему разделяют не на функциональные, а на динамические элементы – звенья.

Динамическим звеном называется часть системы, описываемая дифференциальным уравнением определенного вида. Например, зубчатая передача, делитель напряжения – имеют одинаковое математическое описание (формулу работы). Динамическим звеном может быть функциональный элемент, его часть, несколько функциональных элементов или даже вся система автоматики в целом.

У каждого динамического звена может быть только одна входная и одна выходная величина. Причем выходная величина не должна оказывать на это звено обратного влияния, т.е. при соединении звеньев любое воздействие распространяется только от входа к выходу. О свойство динамических звеньев называется свойством однонаправленности.

Кроме того, подключение каждого последующего звена не должно влиять на процессы, происходящие в предыдущем звене. Это свойство динамического звена называется независимостью звеньев.

Любое динамическое звено математически может быть изображено следующим образом:

W(p)

Х_вх Х_вых

 

 

где W(p) – передаточная функция – отношение изменения во времени сигнала на выходе звена Х_вых(t) к изменению сигнала на входе того же звена Х_вх(t) при нулевом начальном условии.

Математически звенья описываются линейными дифференциальными уравнениями первого или второго порядка:

 

Х_вх(t) = a_n (dⁿ Х_вх(t) / dtⁿ) + a_n-1 (d^{n -1} Х_вх(t) / dt^n-1) + … + a₀ Х_вх(t)

 

где d – дифференциал;

 

Х_вых(t) = b_m (d^m Х_вых(t) / dt^m) + b_m-1 (d^{m -1} Х_вых(t) / dt^m-1) + … + b₀ Х_вых(t)

 

Для удобства расчетов введем оператор дифференцирования (D) или (p) = d / dt

Тогда передаточная функция звена будет иметь вид:

 

W(p) = (b_m p^m + b_m-1 p^m-1+ … + b₀) / (a_npⁿ + a_n-1 p^n-1 + … + a₀)

 

Это выражение и вписывается в прямоугольник для каждого конкретного звена.

Например, если звено описывается дифференциальным уравнением

 

T(dXвых/dt) +Xвых = K Xвх,

 

а оператор p = d/dt, то в операторной форме это уравнение будет иметь вид:

 

(Tp + 1) Xвых(p) = KXвх (p);

 

Передаточная функция такого звена будет иметь вид:

 

W(p) = (Tp + 1) / K

 

Из электротехники известно, что гармонический сигнал (колебание) – синусоида имеет следующие параметры: амплитуда, фаза, частота.

Если на вход звена подать сигнал Хвх (t) = Хвх sin ωt, то на выходе этого звена будем иметь сигнал Хвых (t) = Хвых sin (ωt + φ), где φ – угол сдвига фаз между входными и выходными колебаниями.

График синусоидального сигнала на входе и выходе динамического звена.

 

 

Комплексный коэффициент передачи показывает, как изменяется амплитуда и фаза входного гармонического сигнала при его прохождении через данное звено или систему в зависимости от частоты.

Для удобства расчетов комплексный коэффициент передачи записывается в показательной форме

Хвх = Хвх е ^jωt Хвых = Хвых е ^jωt+φ

где j – мнимая единица.

Тогда комплексный коэффициент передачи имеет вид

 

W(jω) = Хвых / Хвх = Хвых е ^jωt+φ / Хвх е ^jωt = К (ω) е^jφ(ω)

 

где К (ω) = Хвых / Хвх = | W(jω)| -действительная часть (амплитудно – частотная характеристика звена)

е^jφ(ω) = arctg W(jω) - мнимая часть (фазо – частотная характеристика звена)

 

Комплексный коэффициент передачи может быть представлен графически в виде вектора длиной К (ω), наклоненного к горизонтальной оси под углом φ(ω). Так как W(jω) – комплексное число, оно может быть представлено в виде суммы вещественной Р(ω) и мнимой jQ(ω) частей

W(jω) = Р (ω) + jQ(ω)

 

 

 

 

На системы автоматики всегда воздействуют различные внешние возмущения, непрерывно или случайно изменяющиеся. Они, эти возмущения, приводят к изменению входной и выходной величин во всех звеньях системы.

Процесс перехода системы автоматики из одного состояния в другое называется переходным процессом.

Для оценки работы звеньев в динамическом режиме используют динамические характеристики:

- переходную;

- частотные (амплитудно –частотные и фазочастотные)

 

Амплитудно – частотная характеристика – АЧХ – выражает отношение амплитуды колебаний на выходе звена к его амплитуде на входе в зависимости от частоты входного сигнала

К (ω) = Хвых / Хвх = | W(jω)|

 

где Хвых и Хвх – амплитуда сигнала;

ω – угловая частота

 

Фазо – частотная характеристика – ФЧХ – выражает зависимость разности фаз между входным и выходным сигналами звена от частоты входного сигнала

 

φ(ω) = arctg W(jω)

-.

Так как в расчетах используются широкие диапазоны частот, все эти характеристики целесообразно строить в логарифмическом масштабе. Тогда обе характеристики будут называться частотными логарифмическими характеристиками, соответственно ЛАЧХ и ФЧХ

 

 

В зависимости от характера протекания переходного процесса, различают следующие типовые динамические звенья:

- усилительное;

- дифференцирующее;

- интегрирующее;

- апериодическое;

- колебательное

 

 

Усилительным (безинерционным, пропорциональным) звеном называют такое динамическое звено, у которого выходная величина в каждый момент времени пропорциональная входной величине, т.е. выходная величина воспроизводит без искажений и запаздываний входную величину (рис. 76, с.11).Примеры усилительного звена: потенциометр, система рычагов, усилители, зубчатая передача и т.п.

 

Дифференцирующим звеном называется такое звено, в котором выходная величина пропорциональна производной во времени входной величине, т.е. выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величине (рис. 78, с.12).

Т – постоянная времени звена, характеризует инертность звена, зависит от его конструктивных особенностей.

Примеры дифференцирующего звена: тахометр, спидометр, цепи RC и RL, трансформаторы.

 

Интегрирующее звено – такое звено, у которого выходная величина пропорциональна интегралу во времени входной величины. После прекращения действия сигнала на входе, выходной сигнал остается на том же уровне, на котором он был в момент исчезновения входного сигнала, т.е. это звено обладает памятью (рис. 77, с. 11). Примеры интегрирующего звена: электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением, конденсатор, поршневой гидродвигатель и т.п.

 

Апериодическое (инерционное) - звено, в котором при подаче на вход скачкообразного сигнала, выходная величина апериодически (по экспоненте) стремиться к новому установившемуся значению. Выходной сигнал всегда запаздывает по отношению к входному (рис. 80, с. 12). Примеры апериодического звена: цепи LR и LC, термопары, термостаты, магнитные усилители.

 

Колебательное звено – звено, у которого при ступенчатом (скачкообразном) изменении входной величины, выходная величина стремиться к новому установившемуся значению, совершая при этом затухающие и незатухающие колебания (рис. 79, с.12). Примеры: контур RLC, масса, подвешенная на пружине, маятник, поплавковый уровнемер.

σ – коэффициент затухания звена.

 

Для упрощения математического описания, сложные автоматические системы обычно разделяют на простейшие звенья, которые могут быть соединены между собой по - разному.

Различают три вида соединения динамических звеньев:

- последовательное;

- параллельное;

- встречно – параллельное

 

Последовательным называется такое соединение типовых динамических звеньев (риc. 81а, с.12), когда выходная величина одного из них является входной величиной для последующего. При этом передаточная функция всей системы определяется уравнением

W(p) = W₁(p) * W₂(p) * …* W_n(p)

 

При параллельном соединении типовых динамических звеньев (рис.81б, с. 12) входная величина является общей для всех звеньев, а выходные величины суммируются. Передаточная функция всей системы имеет вид

 

W(p) = W₁(p) + W₂(p) + …+ W_n(p)

 

При встречно – параллельном соединении типовых динамических звеньев выходная величина первого звена подается на вход второго, а его выходная величина суммируется с общей входной величиной и подается на вход первого звена. Передаточная функция этого соединения звеньев имеет вид

 

W(p) =W ₁(p) / (1 ± W₁(p) * W₂(p))

 

где «+» принимается отрицательная обратная связь;

«-» -при положительной обратной связи