Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Площадь криволинейной трапеции.

Т.: Если ф-ция f(x)³0 непрерывна на отр. [a,b], то предел всегда сущ:

Определение определённого интеграла.

!!!Т.: Если ф-ция f(x) непрерывна на отр. [a,b], то сущ. интеграл:

1.2. Св-ва определённого интеграла:

1. Аддитивность:
2. Однородность:
3. f(x)³0 [a,b] Þ
4. f(x)³g(x) [a,b] Þ
5. m£ f(x)£M [a,b] Þ
6. f(x) непрерывна на отр. [a,b] Þ

Т.: При любых (a, b, c) верна ф-ла: если суш-ет два из этих интегралов.

Формула Ньютона – Леиблица.

Т.: Если f(x) непрерывна на отр. [a,b], то

!!!Т. (ф-ла Н.-Ле.): Если f(x) непрерывна на отр. [a,b], то верна ф-ла:

Замена переменной.

Т.1: Если 1) f(x) непрерывна на отр. [a,b] 2) x=j(t) [a,b] Û [a,b] 3) j’(t) непрерывна [a,b]

4) j(a)=a, j(b)=b;

 

Интегрирование по частям.

Т.2: Если u(x) и v(x) непрерывна на отр. [a,b]: dv=v’dx, du=u’dx

Не собственные интегралы.

1. Задача y=1/(1+x²)

2. Задача f(x) [a,+¥) $

3. Задача f(x) [-¥,b) $

4.

5. Т.: Если f(x) интегрирована на отр. [a,b], то она иррациональна на этом отр. [a,b]:

6. f(x) [a,b], f(x) не огр. а $

7. f(x) [a,b], f(x) не огр. b $

8.

Площадь фигуры. Криволинейный сектор.

F(x)³0 непр. [a,b] Þ F(x)£0 непр. [a,b] Þ

- S криволинейного сектора.

Длина кривой.

Метод параллельных сечений.

- Объём тела по площади || сечения.

- Объём тела вращения.

Площадь поверхности вращения.

Функций нескольких переменных.

Определение ф-ций.

Опр.1: Переменная “z” называется ф-цией от переменной “x” и “y” с областями изменения X и Y, если иметься правило что каждой паре (“x” и “y”) “x Î X ” и “y Î Y”, ставиться в соответствие одно значение “z Î Z” Þ z=f(x,y), способ задания: табличный, формульный, графический.

Предел и непрерывность функций.

Опр.1: Число а называется приделом ф-ций f(x,y) в т. (x₀,y₀), если по любому наперёд заданному e>0 найдётся проколотая d окрестность -U_d(x₀,y₀) что для всех (x,y) выполняется неравенство: |f(x,y)-a|<e

Свойство:

1) 2)

3) 4)
Опр.2: f(x, y) называется непрерывной в M(x₀,y₀) если:

Опр.3: f(x, y) называется непрерывной в т. (x₀,y₀) если её полное приращение в этой точке есть бесконечно малое при бесконечно малых приращениях Dx и Dy:

Частные производные.

- частное приращения по x.

- частное приращения по y.

- частная производная f(x,y) по x.

- частная производная f(x,y) по y.

- частная производная f(x,y,z) по x.

- частная производная f(x,y,z) по y.

- частная производная f(x,y,z) по z.

2.4. Дифференциал.

-17 вопрос

- полное приращение функций.

Полный дифференциал:

Опр.: f(x, y) называется дифференциалом в т. М(x, y), если в этой т. выполняется равенство (1).

Т.(дост.усл.): частные производные если эти непрерывны в окр. М(x, y)то верна формула (1).

Производные сложней ф-ций.

Дифференциал неявной ф-ций.

Дифференциал неявной ф-ций (3-ёх переменных).

Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные.

Дифференциалы.

d²z=d(dz)

d³z=d(d²z)

dⁿz=d(d^n-1z)

Формула Теилара.

Локальные экстремумы.

Т.(необ.усл.): Если f(x) имеет в т. x₀ локальные экстремум, то в этой точке f’(x)=0 или не сущ.

Опр.: Ф-ция f(x,y) имеет в т. M₀(x₀,y₀) лок. Макс. (Мин.) если найдется окрестность в т. М₀ такая в которой выполняется неравенство:

Т.(необ.усл.): Если ф-ция f(x,y) имеет в т. M₀(x₀,y₀) лок. экстремумы, то в этой т. част. производная или 0 или не существует.

 

Т.2.(дост. усл.): Пусть М₀(0,0) стационарна для f(x,y), Если в М₀:

Т.3.: Если в имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные равны 0 или не сущ-ют.

Глобальные экстремумы.

Y=f(x) [a,b]

Схема:

1) лок. экстремумы в (a,b)

2) f(a) и f(b)

3) выбрать

Z=f(x,y) в области Е наибольшее и наименьшее Y=f(x) в Е:

Схема:

1) найти лок. экстре. внутри Е

2) Найти наибольшее и наименьшее на гранитсе g

3) Выбрать

Градиент.

 

Опр.: Вектор, компонентами которого служат значения частных производных .

Т.: направление градиента в заданной точке есть направление, в котором ф-ция возрастает с наибольшей скоростью:

- 21 вопрос.

 

Вычисление интеграла.

Т.: 1) сущ.

2) сущ. , то верна ;

Замена переменной.

Условия:

1) (*) устано. взаимное соответствие D«D’

2) j, y, непр. D’

3) - Функциональный определитель.

4) f(x,y) непр. D

Т.1.: Если выполнимы условия 1-4, то верна:

Т.2.: - Переход к целиндр. коорд.

Приложение двойного интеграла.

Механическое приложение.

- Плотность вещества.

- Момент инерций площади плоской фигуры. g(x,y) – плотность.

- Координаты центра тяжести площади плоской фигуры.

 

3.6. Тройной интеграл.

 

Т.: Любая не прерывная в области V f(x,y,z) интегрируема в этой области.

Свойства:

1)

2)

Замена переменной.

Условия:

1) (*) установим взаимно однозначное соответствие V«V’

2)

3)

4) f(x,y,z) непре. V

Т.: Если выполняется условие 1-4 то верна формула:

 

Приложение тройного интеграла.

Механическое приложение.

-Масса тела.

-Момент инерций тела [g(x,y,z) – масса тела]

- Координаты центра тяжести тела [g(x,y,z) – плотность в-ва.]

Криволинейные интегралы.

Определение и св-во.

Приложение криволинейных интегралов.

Площадь фигуры.

Работа силы.

Ряды.

Числовой ряд и его сумма.

- числовой ряд (бесконечная последовательность чисел).

- гармонический ряд. - геометрический ряд.

Сходимость / рас ходимость ряда:

- частичная сумма.

- для гармонического ряда.

- для геометрического ряда.

Т.: Поведение сходимости / рас ходимости ряда не меняется, если:

1. отбрасывается конечное число членов в любых местах.
2. к - членом ряда присоединяется конечное число членов в любых местах.

Теорема сравнения.

Т.: Если a_k£b_k "k, то:

1. из сходимости ряда
2. из рас ходимости ряда

 

Признаки Даламбера и Коши.

Пр. Даламбера только для положительных рядов.

Т.1(Пр. Даламбера): Если существует , то

1. 
2. 
3. q=1?

Т.2(Пр. Коши): Если существует , то

1. q<1 – сходиться
2. q>1 – расходиться
3. q=1 -?

 

 

5.5. Интегральный признак Коши.

Признак -

Т.(необх. пр. Коши): Если найдётся непрерывная не возрастающая функция j(x) на [1,+¥] такая, что j(n)=a_n "n (a_n>0), то одновременно или сходятся или расходятся.

 

5.6. Знакочередующиеся ряды.

Т.(пр. Лейбнеца):

1)

2) a_n³a_n+1 "n члены не возрастают, то (*) сходиться.

 

5.7. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Т.1: Если исходный ряд расходиться, ряд составленный из модулей членов этого ряда не может сходиться.

Т.2: Если сходиться ряд составленный из модулей членов исходного ряда, то сходиться и исходный ряд.

Т.3: Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами коммутативности и ассоциативности Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.

Т.4 (Риман): Если условно ряд сходиться, то для "s (в том числе -¥ и +¥) можно указать перестановку членов ряда такую что преобразованный ряд сходиться к числу s или расходиться к -¥ или +¥.

Т.5: Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не меняет его суммы.

Абсолютная сходимость – если сходиться ряд составленный из абсолютных величин его членов.

Условная сходимость – если знакопеременный ряд сходиться, а ряд составленный из абсолютных его величин расходиться.

5.8. Функциональные ряды.

Опр.:

Степенной ряд.

Опр.:

Т.1(Абель): Если степенной ряд сходиться в точке x₀ (x₀¹0), то он абсолютно сходиться для всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|.

Если степенной ряд расходиться в точке x’₀ (x’₀¹0), то он абсолютно расходиться для всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x’₀|.

Свойство степенных рядов.

Т.1: Внутри интервала сходимости ( - R, R) сумма степенного ряда s(x) есть ф-ция непр.

Т.2: Внутри интервала сходимости ( - R, R) сумма степенного ряда s(x) диффер. и интегрируема и находиться соответственно n-членным дифференциалом или интегрированием.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Т.: Сумма степенного ряда s(x), связана с коэффициентами степенного ряда с помощью формулы (**)

Биномный ряд.

 

Приложение:

Опр.(def Lim):

-S куска поверхности. - S плоской области.

- сфера - цилиндр - парабфлойд

- 3-остный элипсойд - 1 – остный гипербалойд

- 2–остный гипербалойд - конус

Определённый интеграл.

Площадь криволинейной трапеции.

Т.: Если ф-ция f(x)³0 непрерывна на отр. [a,b], то предел всегда сущ: