Производные в заданном направление.

Точка N движется по диагонали.

 

Градиент.

 

Опр.: Вектор, компонентами которого служат значения частных производных .

Т.: направление градиента в заданной точке есть направление, в котором ф-ция возрастает с наибольшей скоростью:

- 21 вопрос.

 

Касательная плоскости и нормаль.

- касательная

- нормаль

Двойные и тройные интегралы.

Объём криволинейного цилиндра.

Т.: Если f(x,y) непр. в замкнутой области D то предел (*) всегда существует.

Двойной интеграл и его свойство.

Опр.:

Т.1.: Если f(x,y) непр. в D то двойной интеграл (**) существует.

Т.2.: Если f(x,y) ³ 0 непр. в области D, объём криволинейного цилиндра:

 

Вычисление интеграла.

Т.: 1) сущ.

2) сущ. , то верна ;

Замена переменной.

Условия:

1) (*) устано. взаимное соответствие D«D’

2) j, y, непр. D’

3) - Функциональный определитель.

4) f(x,y) непр. D

Т.1.: Если выполнимы условия 1-4, то верна:

Т.2.: - Переход к целиндр. коорд.

Приложение двойного интеграла.

Механическое приложение.

- Плотность вещества.

- Момент инерций площади плоской фигуры. g(x,y) – плотность.

- Координаты центра тяжести площади плоской фигуры.

 

3.6. Тройной интеграл.

 

Т.: Любая не прерывная в области V f(x,y,z) интегрируема в этой области.

Свойства:

1)

2)

Вычисление тройного интеграла.

Замена переменной.

Условия:

1) (*) установим взаимно однозначное соответствие V«V’

2)

3)

4) f(x,y,z) непре. V

Т.: Если выполняется условие 1-4 то верна формула:

 

Переход к цилиндрическим координатам.

Переход к сферическим координатам.

Приложение тройного интеграла.

Механическое приложение.

-Масса тела.

-Момент инерций тела [g(x,y,z) – масса тела]

- Координаты центра тяжести тела [g(x,y,z) – плотность в-ва.]

Криволинейные интегралы.

Определение и св-во.

Вычисление криволинейных интегралов.

4.3. Формула Грина.

Приложение криволинейных интегралов.

Площадь фигуры.

Площадь куска цилиндрической поверхности.

Работа силы.

Независимость интеграла от пути интегрирования.

Предположение 1: не зависит от пути соединяющего точки А и В.

Предположение 2: для любой замкнутой кривой g в области W.

Т.1: Предположения 1 и 2 равносильны.

Предположение 3: в W "(x,y) выполняется

Т.2: Если непрерывна в W, то предположение 3 равносильно предположению 2.

Предположение 4: Найдётся в W U(x,y) такая, что , т.е. есть полный дифференциал U(x,y)

Т.3: В предпосылках Т.2 предположение 3 равносильно предположению 4.

Криволинейные интегралы в пространстве.

4.7. Механическое приложение.

-центр тяжести пространственной кривой.

-масса тяжёлой линий (AB), f(x,y) – линейная плотность материала.

Ряды.

Числовой ряд и его сумма.

- числовой ряд (бесконечная последовательность чисел).

- гармонический ряд. - геометрический ряд.

Сходимость / рас ходимость ряда:

- частичная сумма.

- для гармонического ряда.

- для геометрического ряда.

Т.: Поведение сходимости / рас ходимости ряда не меняется, если: