Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Под методом проецирования понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П₀ есть точка А⁰ пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).

В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

^ При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки — центра проецирования S, который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П₀. Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток — трудность определения размеров по его изображению.

^ При параллельном проецировании, проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования — S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.

^ Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.

Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П₁), фронтальную (П₂) и профильную (П₃). Две плоскости П₁ и П₂ делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П₁, П₂ и П₃ — на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).

Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.

Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.

А′ — горизонтальная проекция точки А;

А′′ — фронтальная проекция точки А;

А′′′ — профильная поекция точки А.

Для получения проекционного чертежа совмещают плоскости П₁ и П₃ с фронтальной плоскостью проекций П₂ поворотом соответственно около осей X и Z. Тогда на чертеже проекции А′ и А′′ размещаются на одном перпендикуляре к оси ОX, а А′′ и А′′′ — на одном перпендикуляре к оси ОZ. Известно три способа построения профильной проекции точки по данным двум проекциям.

Способ замены плоскостей.

Сущность этого способа заключается в переходе от данной системы плоскостей проекций П₁/П₂ к новой. Проецируемая фигура при этом не меняет своего положения в пространстве. Одна из основных плоскостей проекций П₁ или П₂ заменяется новой плоскостью, размещенной определенным образом относительно неподвижного объекта проецирования. Поскольку в новой системе плоскостей проекций проецирование остается прямоугольным, то новая плоскость должна быть перпендикулярной к незамененной плоскости проекций П₁ или П₂.

^ 16. Способ вращения вокруг проецирующих прямых.

Сущность способа заключается в том, что данная система плоскостей проекций остается неизменной, а проецируемую фигуру вращают вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, до той пары, пока она не займет частное положение, т.е. при вращении плоскость сохраняет свое первоначальное положение, а геометрический образ перемещается в пространстве. Центр вращения — точка пересечения оси вращения с плоскостью вращения. Радиус вращения — расстояние от центра вращения до заданной точки.

 

Цилиндрические и конические винтовые линии. Образование, основные параметры.

Цилиндрические винтовые линии образуются на поверхности цилиндра вращения при равномерном перемещении точки вдоль его образующей и при одновременном равномерном вращении образующей около оси цилиндра. Проекции цилиндрической винтовой линии: фронтальная — синусоида, горизонтальная — окружность. Фронтальная проекция строится следующим образом: делим окружность основания цилиндра и шаг винтовой линии (отрезок, на который подымается точка А при полном повороте образующей цилиндра) на одинаковое количество частей (12). Определяем соответственные фронтальные проекции перемещающейся точки и соединяем их плавной кривой. При развертки цилиндрической поверхности винтовая линия является прямой. Угол a называется углом подъема винтовой линии: tga=h/pD, где h — шаг линии, D — диаметр цилиндра. Винтовая линия на цилиндрической поверхности имеет постоянный подъем.

Коническая винтовая линия образуется на поверхности конуса вращения при равномерном перемещении точки вдоль его образующей и при одновременном равномерном вращении образующей около конуса. Проекции конической винтовой линии (горизонтальная спираль Архимеда, а фронтальная — затухающая синусоидальная кривая с уменьшающейся длиной волны) строится следующим образом: делим окружность основания конуса и шаг винтовой линии на одинаковое количество частей (12). Определяем по соответственным образующим конуса местоположение проекций точек 1, 2, …, 12 и соединяем их плавной кривой. Винтовые линии могут быть правыми и левыми. Правой называется винтовая линия, которая подымается слева вверх направо. Левая винтовая линия подымается справа вверх налево. Часть винтовой линии, соответствующая одному ее шагу, называется витком. Винтовые линии, образованные на цилиндре и конусе, имеют большое практическое значение в практике (используются для образования резьб).

^ 22. Поверхности. Классификация, определитель и каркасы поверхностей.

Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Эту линию называют образующей. Перемещение образующей может быть подчинено какому-нибудь закону или быть случайным. В первом случае поверхность называют закономерной, а во втором — незакономерной. Выделяют три способа образования поверхностей: аналитический (поверхность задается уравнением); каркасный (поверхность задается определенной совокупностью точек и линий); кинематический (поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве по определенному закону. Совокупность геометрических элементов (форма образующей, форма направляющей, закон перемещения образующих) и связей между ними называется определителем поверхности. Определитель поверхности состоит из двух частей: 1) геометрическая часть определителя — совокупность постоянных геометрических элементов и соотношения между ними; 2) алгоритмическая часть определителя — закон, по которому строятся тоски и линии поверхности. В зависимости от формы образующей и закону перемещения поверхности можно приблизительно разделить на группы. Линейчатые поверхности — поверхности, образующей которых является прямая линия. Линейчатые поверхности могут быть: развертываемые поверхности, т.е. после разреза их по образующей можно совместить с плоскостью без разрыва и складок; неразвертываемые поверхности, т.е. их нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Нелинейчатые поверхности — поверхности, образующая которых является кривой линией. Нелинейчатые поверхности могут быть: с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности; с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности. Если представить себе совокупность прямолинейных образующих и совокупность образующих окружностей, то каждая линия одной совокупности пересечет все линии другой совокупности, в результате чего получается каркас данной поверхности.

^ 23. Поверхности вращения. Построение точки на поверхности вращения.

Поверхности, образованные вращением линии (образующей) вокруг прямой (оси вращения), называются поверхностями вращения. Определитель поверхности вращения включает образующую и ось вращения. При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает в пространстве окружность. Эти окружности называют параллелями. Плоскости параллелей всегда перпендикулярны к оси вращения. Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую — горлом поверхности. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Если поверхность вращения образована вращением прямой линии, то поучаем линейчатую поверхность, коническую или цилиндрическую. Если поверхность вращения образована вращением кривой линии, то получаем нелинейчатую поверхность, сферу или тор. Сфера — поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра. Тор — поверхность, образованная вращением окружности (или ее дуги) вокруг прямой — оси вращения, размещенной в плоскости окружности и не проходящей через центр окружности. Тор называется замкнутым, если ось вращения пересекается с окружностью, которая образует его, и открытым, если ось вращения не пересекается с окружностью, которая его образует. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг одной из осей. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг оси. Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг оси. При вращении гиперболы вокруг мнимой оси получается однополосный гиперболоид вращения, а при вращении вокруг действительной оси — двуполостный гиперболоид вращения. Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.

Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.

Под методом проецирования понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П₀ есть точка А⁰ пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).

В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.

^ При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки — центра проецирования S, который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П₀. Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток — трудность определения размеров по его изображению.

^ При параллельном проецировании, проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования — S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.

^ Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.

Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П₁), фронтальную (П₂) и профильную (П₃). Две плоскости П₁ и П₂ делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П₁, П₂ и П₃ — на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).