Любую матрицу можно умножить на число (каждый элемент матрицы умножить на число) 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Любую матрицу можно умножить на число (каждый элемент матрицы умножить на число)



Умножение, МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,МОЖНО УМНОЖИТЬ НА МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦ

Транспонирование матриц

Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:

Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:

6)

Матрица В называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если

где Е — единичная матрица n-го порядка. Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица для матрицы А обозначается

Найдите обратную матрицу для матрицы

Решение. Находим определитель

то матрица -- невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:

оставляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

(14.15) Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Матричные уравнения

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу Х из уравнения необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Решить уравнение АХ = В, если

Линейная зависимость

 

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

 

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

 

 

где не все числа равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

 

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

 

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

если строки матрицы C линейно зависят от строк матрицы B, то C = AB для некоторой матрицы A;

если столбцы матрицы C линейно зависят от столбцов другой матрицы A, то C = AB для некоторой матрицы B.

[править]

Ранг матрицы

 

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

 

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матриц\

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем).

Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы

15)Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

 

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что

Достаточность

 

Пусть . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A..

 

Теорема о ранге.

 

Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

 

Определение 4.4. Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

 

Замечание. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

 

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 186; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.159.116.24 (0.009 с.)