Другие законы распределения непрерывных случайных величин.

 

Кроме нормального закона есть и другие случайные величины, часто встречающиеся в приложениях. Приведем некоторые из них.

Для равномерного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики М(Х)= , D(X)= .

 

Для показательного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики М(Х)= 1/a, D(X)= 1/a².

Эти формулы можно использовать при решении задач.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ № 5

Математическая статиcтика изучает массовые явления и процессы, ставя целью получение выводов по данным наблюдений за ними. В результате появляются утверждения об общих характеристиках таких явлений в предположении постоянства начальных условий явления. Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.

Поскольку число наблюдений конечно, их результаты можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной величине, только в нижней строке не вероятности, а частоты тех или иных значений, а чаще – диапазонов. При этом при анализе такой таблицы нередко возникает предположение, что данная величина распределена по одному из известных непрерывных законов (см. комментарии к задаче № 4), чаще всего – нормальному (гауссовскому).

 

Типовой пример

 

Получены статистические данные (N=500) зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.

 

 

Таблица 1

Статистические данные типового примера

 

N

X

Y

 

…………..

Окончание таблицы 1

N

X

Y

 

Требуется:

1 часть.

1) произвести выборку из 200 значений;

2) построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

3) построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

4) сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

3) вычислить коэффициент корреляции;

4) получить уравнение регрессии;

 

Решение.

1) Произведём из генеральной совокупности N =500 выборку n =200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел (Приложение 1). Выберите столбец, номер которого соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для данного примера выбрана дата 31.12. Найдём случайное число, находящееся в 12 столбце и в 31 строке. Это число 0436. Значит выбранными будут столбцы №12;4;13;16. (№12 – месяц Вашего рождения, №4 – первая цифра в случайном числе (если ноль, то вторая), №13 – третья цифра в случайном числе плюс 10, №16 – четвёртая цифра в случайном числе плюс 10). Если цифры повторяются, то нужно взять соседние номера. Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно выбрать номера: 2 - номер столбца, 4 - первая цифра случайного числа,12 – третья цифра плюс 10, 13 – четвёртая цифра плюс 1 и плюс 10.

Для осуществления выборки берутся последние три цифры в случайном числе, которые определяют порядковый номер выборочного значения. Если в выборке встретился номер, которого нет в генеральной совокупности, то необходимо вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним номер.

Для представленного примера получилась выборка:

Таблица 2

Выборочные данные X и Y

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

Продолжение таблицы 2

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N

X

Y

 

N
X
Y

 

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3

Ранжированный ряд случайной величины Х

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

X

Y

 

Продолжение таблицы 3

 

X

Y

 

X

Y

 

X
Y

 

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

 

Таблица 4

Дискретный вариационный ряд

 

i

 

i

 

i

 

В данном примере случайные величины сплошь заполняют промежуток (148;190). Число возможных значений велико. Их нельзя представить в виде случайных величин, принимающих отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Поэтому для построения вариационного ряда будем использовать интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал варьирования разобьём на конечное число интервалов и подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый интервал. Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьирования R («размах») будет равен R= Длину интервала рассчитывают по формуле:

(5)

 

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.

На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала (таблица №7).

Для данного примера , округлим до 3, т.е. размер интервала h =3, а число интервалов будет равно 14. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице №5.

 

Таблица 5