Уравнения потенциального движения для пористой среды

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.28)

Равенство (2.28) можно переписать в виде

(2.29)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.30)

Здесь r`u – вектор массовой скорости фильтрации; gradj – градиент j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j.

Уравнение (2.30) – это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.30) в (2.4), получаем

, (2.31)

а для установившегося течения

. (2.32)

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты.

 

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

· сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;

· произведение частного решения на константу – также решение.

 

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.

Начальные и граничные условия

 

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для данного уравнения.

 

Начальные условия

j = j_о (x,y,z) при t = 0,

если при t = 0 пласт не возмущён, тоj = j_о = const.

Граничные условия

 

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

j (Г,t)= j _к=const,

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = F r `u = const, т.е. используя уравнение (2.30),

3) переменный поток массы через границу

4) замкнутая внешняя граница

5) бесконечный пласт

lim_x®¥ j(Г,t) = j_к = const.

у®¥

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

j (r_c, t)= j _c=const;

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси) или при r=r_c;

3) переменный потенциал на забое

j (r_c,t)=f₂(t) при r=r_c;

4) переменный массовый дебит

при r=r_c;

5) неработающая скважина

при r=r_c.

Замыкающие соотношения

 

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей r, m, k, μ от давления.