Первая и вторая задачи анализа на чувствительность

Цель работы: проанализировать возможные изменения запасов различных ресурсов в конкретной производственной ситуации; определить ценность каждого ресурса и наиболее ценные ресурсы.

Теоретическое обоснование

А. Пусть вектор X = (12, 12) - оптимальный план ЗЛП (1 - 3), что соответ­ствует производству двенадцати юбок и двенадцати брюк соответственно. Под­ставим значение оптимального плана в неравенства системы линейных нера­венств, где, в таком случае, левая часть ограничения обозначает количество используемой ткани при оптимальном плане производства юбок и брюк, а пра­вая часть показывает суточный запас ткани:

-выполняется знак равенства между левой и правой частями. Разница между правой и левой частями ограничения равна нулю, зна­чит, ресурс используется полностью при оптимальном плане;

-запас трудоемкости использован полностью при опти­мальном плане выпуска юбок и брюк;

-судя по этому ограничению, сумма накладных расхо­дов использована не полностью, т. к. 120<200;

 

12 < 18 - то же самое можно сказать о резерве спроса на юбки.

С точки зрения экономии, запасы некоторых ресурсов были излишними, потому что они не были использованы в процессе производства. Суточную по­требность в накладных расходах, например, можно уменьшить. А на какую ве­личину? Наверно, на такую, которая не повлияла бы на размер получаемого до­хода и объем выпуска продукции. Отсюда вытекает один из вопросов первой задачи анализа на чувствительность: «Запасы, каких ресурсов и на какую в ели­чину можно уменьшить так, чтобы оптимальный план и доход осталис ь не­изменными?»

В ситуации, когда, например, спрос на юбки падает до нуля, производст­во юбок разумно было бы прекратить и увеличить выпуск брюк. Для того что­бы доходы при этом не упали, целесообразно пересмотреть план выпуска брюк. Это значит, что необходимо изменить и объем запасов производственных ре­сурсов, необходимых для производства брюк. Однако существуют разумные пределы запасов. Они обусловлены экономическими причинами - отсутствие складских помещений, ограниченные возможности доставки и др. Задача ми­нимум в такой ситуации - рассчитать заранее, запасы каких ресурсов и в каких пределах выгодно увеличить. Отсюда второй вопрос первой задачи анализа на чувствительность: «Запасы каких ресурсов и на какую величину молено увели­чить, чтобы увеличился доход от реализации продукции?»

Как видно из графического решения (рис. 1) и анализа количества ис­пользованных при оптимальном плане ресурсов, ограничения на ткань и трудо­емкость соответствуют связующим прямым.

Основное свойство связующих прямых — они проходят через точку оп­тимума и одновременно являются сторонами многоугольника ОДР.

Ресурсы, соответствующие связующим прямым, сдерживают рост опти­мального плана, что легко заметить, если подставить оптимальный план выпус­ка юбок и брюк в ограничения ЗЛП. Левые и правые части ограничений на ткань и трудоемкость в оптимальном плане равны. Эти ресурсы, таким образом, используются полностью.

Чтобы выяснить, запас, каких ресурсов необходимо увеличивать, а каких уменьшать, проведем следующие действия. Уменьшим, например, запасы ткани и трудоемкости. В результате при плане X = (12, 12) знаки ограничений пере­станут выполняться, и система ограничений ЗЛП станет несовместной. Оче­видно, что уменьшение запасов ткани и трудоемкости вызовет уменьшение производства юбок и брюк, что приведет к уменьшению дохода.

Поэтому проводить уменьшение запаса дефицитных ресурсов (тех, ко­торые соответствуют связующим прямым и используются полностью в оп­тимальном плане, их ценность строго больше нуля) нет смысла. Их увеличе­ние, напротив, может привести к увеличению значения оптимального плана, а значит, и к увеличению значения дохода.

Дефицитные ресурсы, увеличение запаса которых не приводит к увеличе­нию значения дохода, назовем блокирующими.

Уменьшение запасов накладных расходов и величины спроса на юбки, напротив, целесообразно. Как видно из примера, эти ресурсы используются не полностью в оптимальном плане. Они являются недефицитными (не исполь­зуются полностью в оптимальном плане. Соответствующие недефицитным ресурсам прямые могут проходить через точку оптимума, но не образуют од­новременно сторону многоугольника ОД; могут образовывать сторону ОДР, но не содержат одновременно точку оптимума.).

Поскольку прямая, соответствующая ресурсу «трудоемкость», не имеет ни одной общей точки с ОДР, такой недефицитный ресурс называют избы­точным.

Теперь можно сформулировать ответ на первую часть первого и второго вопросов первой задачи анализа на чувствительность о том, запасы каких ре­сурсов целесообразно увеличивать или уменьшать. Запасы дефицитных ресур­сов целесообразно увеличивать, запасы недефицитных ресурсов необходимо уменьшать. Запасы блокирующих ресурсов нецелесообразно изменять.

Для ответа на вторую часть первого и второго вопросов первой задачи анализа на чувствительность о том, на какую величину целесообразно изменять запасы ресурсов, необходимо провести специальные расчеты.

Увеличение или уменьшение запаса ресурса соответствует изменению значения свободного члена в уравнении прямой . Поэтому на графике изменение запаса ресурса выглядит как перемещение соответствующей прямой параллельным переносом по координатной плоскости.

Расчет изменения запаса ресурсов проводится по следующему алгоритму:

1. Удаляют анализируемый ресурс с графика ОДР ЗЛП.

2.Находят новую ОДР без учета стертого ресурса.

3. Определяют новую точку оптимума на новой ОДР с помощью графи­ческого метода.

4. Определяют значение запаса ресурса в новой точке оптимума. Для это­го подставляют координаты новой точки оптимума в уравнение прямой анали­зируемого ресурса.

5. Для определения целесообразного изменения запаса ресурса находят разницу между значением запаса ресурса в новой точке оптимума и исходным значением запаса ресурсов.

Б. Для определения ценности каждого ресурса решают вторую задачу анализа на чувствительность. Цель второй задачи анализа на чувствительность -установить, запасы каких ресурсов и в каких пределах необходимо увеличивать в первую очередь при прочих равных условиях?

Для решения второй задачи анализа на чувствительность используется понятие «ценность единицы ресурса»:

Экономический смысл ценности i - го ресурса: оценка показывает, на сколько единиц изменится значение дохода при изменении запаса i - го ресурса на единицу.

Ход выполнения

А. В поле EXCEL строим таблицу (табл. 8):

Таблица 8

 

i	Статус ре­сурса
1.	дефицит­ный
2.	дефицит­ный
3.	избыточный					-80
4.	недефицит­ный					-6

Примечание. F° - значение целевой функции при оптимальном плане X ° = (12, 12);
- исходное значение запаса i - го ресурса; - значение целе­вой функции в новой точке оптимума при переносе i - го ресурса; - значение запаса i - го ресурса после переноса i - й прямой; - значение приращения запаса i - го ресурса; - приращение целевой функции при увели­чении запаса i - го ресурса на .

Используемые в таблице формулы расчета значений:

;

- F°.

Заполняем первые три столбца табл.8. После этого реализуется следую­щий алгоритм.

Алгоритм расчета целесообразного прироста запаса ресурсов

1. Предположим, что запасы соответствующего изменяемого ресурса бесконечны. «Стираем» ресурс с диаграммы EXCEL. Для «стирания» достаточ­но удалить значение запаса ресурса из соответствующей ячейки. Получаем новую ОДР.

2. Проводим соответствующие изменения в процедуре «Поиск решения». Для этого в окне «Ограничения» необходимо удалить формулу для ресурса . Эта операция по результатам расчетов аналогична параллельному переносу ре­сурса.

3. Используя «Поиск решения», находим новый оптимальный план.

4. Заносим новые значения дохода и запаса ресурса (новое значение запаса ресурса будет отображаться в столбце Е табл. 7 напротив соответствующей строки) при новом оптимальном плане в соответствующие ячейки
табл. 8.

5. Восстанавливаем «стертую» прямую, заносим первоначальное значе­ние ресурса в соответствующую ячейку EXCEL. Добавляем «стертое» ограни­чение в окно «Ограничения» процедуры «Поиск решения».

6. Теперь можно приступить к изменению запаса другого ресурса (см. п. I данного алгоритма).

По результатам проведенного алгоритма видно, что целесообразно уве­личить запасы ткани и трудоемкости до 60 и 69 единиц соответственно. При увеличении запаса ткани на 18 метров доход возрастет на 180 рублей и составит 1500 рублей. А при увеличении запаса трудоемкости на 9 человеко-часов зна­чение дохода возрастет на 135 рублей и составит 1455 рублей.

 

Б. Решение второй задачи на чувствительность запишите с помощью ссылок в виде формулы EXCEL в последний столбец табл. 8. При этом используйте данные, рассчитанные в табл.8 при решении первой задачи анализа на чувствительность.

Из последнего столбца табл.8 видно, что дефицитные ресурсы имеют оценки , недефицитные и избыточные ресурсы имеют оценки .

Наиболее ценным является второй ресурс (трудоемкость). Используя по­лученные во второй задаче анализа на чувствительность результаты, убедимся, что . Действительно, .

Задание: проверьте результаты второй задачи анализа на чувствитель­ность с помощью полученных в процедуре «Поиск решения» отчетов.

 

 

Лабораторная работа 5