Методика решения задач с помощью законов термодинамики

1. При использовании первого закона термодинамики: – а также при вычислении работы газа A и количества переданной теплоты нужно обращать внимание на знаки величин.

Количество теплоты положительно (т. е. , если система получает энергию в виде теплоты; при этом, согласно определительной формуле , величина приращения температуры , т. е. температура газа увеличивается.

Аналогично определяется знак приращения внутренней энергии ; из этой формулы следует, что , если , т. е. приращение внутренней энергии положительно (величина U возрастает), если при переходе газа из 1-го состояния во 2-е увеличивается температура газа. И наоборот, если , т. е. температура газа понижается, то величина , так как внутренняя энергия газа уменьшается.

Знак работы следует из определительной формулы для элементарной работы газа ; так как давление газа , то знак работы совпадает со знаком приращения объема. Величина , если (объем газа увеличивается в ходе процесса), т. е. работа газа положительна при расширении газа. И наоборот,при (объем уменьшается) работа , т. е. при сжатии работа газа отрицательна; в этом случае внешние силы совершают положительную работу.

2. Полезно, а в ряде задач и необходимо изображать график процесса в координатах , контролируя изменение параметров газа с помощью уравнения состояния идеального газа

.

Из последнего уравнения объединенного газового закона легко получить газовые законы для изопроцессов:

1) изотермический процесс ( const): , или ;

2) изобарический процесс ( const): , или ;

3) изохорический процесс ( const): , или .

Графики этих процессов показаны на рис. 21, 22 и 23.

Рис. 21. График Рис. 22. График Рис. 23. График изотермы: (1–2) – изобары: расширение изохоры: (1–2) – расширение газа газа при нагреве нагрев газа 4) уравнение адиабатного процесса : Так как показатель адиабаты , то кривая адиабатного процесса идет круче, чем изотерма (рис. 24), в уравнении которой показатель степени параметра равен единице. При расширении газа из начального состояния   1 адиабата идет ниже изотермы и при одинаковом объеме давление газа ; тогда, в соответствии с уравнением состояния идеального газа , его температура , т. е. адиабатное расширение газа сопровождается его охлаждением. Аналогично анализируя параметры состояния газа при сжатии, видим, что давление газа ; соответственно температура газа , значит, при Рис. 24. Графики изотермического адиабатном сжатии газ нагревается. и адиабатного процесса

О2: ; ; ; ; .

Задача 26. При изотермическом расширении кислорода массой при температуре его объем увеличился в два раза. Определите 1) совершенную газом работу , 2) изменение внутренней энергии газа , 3) количество теплоты , полученное газом.

Дано Решение

Рис. 25

 

 

1) Работа, совершенная газом, вычисляется по следующей формуле:

(1)

Из графика процесса (рис. 25) видно, что по мере увеличения объема газа его давление снижается в соответствии с уравнением процесса . Следовательно, в формуле (1) под знаком интеграла содержатся две переменные: . Выразим давление через объем из уравнения состояния идеального газа

. (2)

Подставим выражение (2) в формулу (1), вынесем постоянные величины за знак интеграла и проинтегрируем:

. (3)

Вычислим работу газа по формуле (3):

.

2) Внутренняя энергия газа зависит от его температуры, а ее приращение

, так как

3) Количество теплоты, полученной газом в изотермическим процессе, найдем по формуле первого закона термодинамики:

, имеем

Задача 27. Какая доля количества теплоты , подводимого к идеальному газу в изобарном процессе, расходуется на увеличение внутренней энергии газа и какая доля – на работу A расширения газа? Рассмотрите три случая: 1) газ одноатомный, 2) газ двухатомный, 3) газ трехатомный.

Дано Решение

.
1) одноатомный газ: 2) двухатомный газ: 3) трехатомный газ:

Рис. 26

График изобарного процесса представлен на рис. 26. Количество теплоты , поглощаемое газом при изобарном нагревании, определяется формулой

, (1)

где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении. С учетом формулы для величины уравнение (1) принимает вид:

(2)

Найдем долю энергии . Приращение внутренней энергии определим по формуле

(3)

Следовательно, доля подводимой энергии, которая идет на увеличение внутренней энергии газа, с учетом формул (2) и (3), после сокращения в отношении сомножителя представится формулой:

(4)

Найдем долю энергии . Работа, совершаемая газом при изобарном расширении, определяется следующим образом:

(5)

В соответствии с полученной формулой (5) величина работы A равна площади прямоугольника на графике процесса (см. рис. 24). Используем уравнение состояния идеального газа для состояний 1 и 2 в изобарном процессе:

.

Вычитая из второго уравнения первое, получаем связь приращений параметров газа в следующем виде:

(6)

С учетом выражения (6) формулу работы (5) запишем так:

(7)

Рассчитаем долю энергии, которая расходуется на работу, используя формулы (2) и (7):

(8)

Привлекая первый закон термодинамики , найдем

,

и проверим полученные формулы (4) и (8):

.

Следовательно, полученные расчетные формулы (4) и (8) верны.

Вычисляем по этим формулам значения :

1) одноатомный газ: число степеней свободы молекулы ,

; ;

2) двухатомный газ: ,

; ;

3) трехатомный газ: ,

;

Задача 28. В сосуде под поршнем находится водород массой . Какое количество теплоты требуется для нагрева этого газа на ? На какую высоту при этом поднимется поршень? Масса поршня , его площадь Воздух снаружи находится под давлением

Дано Решение

: M ; ; ; ; ;
1)

Рис. 27

Так как поршень над газом находится в состоянии покоя, то сила давления F на поршень со стороны водорода (рис. 27) уравновешивается двумя силами – силой давления внешнего газа на поршень и силой тяжести поршня :

Следовательно, давление водорода в цилиндре под поршнем

При нагревании газа это равенство выполняется, так как нагрев в условиях свободного расширения газа происходит изобарно при давлении водорода

. (1)

1) В изобарном процессе количество подведенной для нагрева газа теплоты определяется следующей формулой:

(2)

В этой формуле число степеней свободы двухатомной молекулы водорода Вычисляем

.

2) Найдем перемещение поршня h. Высота, на которую поднимется поршень, определяется приращением объема газа

(3)

Приращение объема газа определим, записывая уравнение состояния идеального газа для двух состояний водорода – 1 и 2:

; и .

Вычитая из второго уравнения первое, получаем, что

. (4)

Из уравнения (4) выразим величину приращения объема газа :

(5)

Приравнивая значения по формулам (3) и (5) и учитывая выражение (1) для давления водорода, получим расчетную формулу определяемой величины h в виде

(6)

Вычислим перемещение поршня при нагреве газа по формуле (6):

.

Задача 29. При адиабатном сжатии воздуха в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания давление возрастает от значения до величины Начальная температура воздуха Определите температуру газа в конце сжатия.

Дано Решение

; ; .

Рис. 28

В адиабатном процессе параметры газа связаны уравнением Пуассона:

, (1)

и соответствующая кривая адиабатного сжатия приведена на рис. 28. Уравнение (1) запишем для двух состояний газа: 1 – в начале и 2 – в конце адиабатного сжатия воздуха:

. (2)

Выразим неизвестное отношение объемов через заданные параметры, используя уравнение состояния идеального газа, – оно справедливо для состояния газа в любом равновесном процессе:

.

Выразим отношение

,

и подставим в уравнение адиабатного процесса (2):

,

затем определяем отношение температур

, (3)

Вычислим показатель степени в уравнении (3). Сначала определим показатель адиабаты , учитывая, что двухатомные молекулы воздуха (O₂ и N₂) имеют степеней свободы:

.

Величина

Вычисляем температуру воздуха в конце адиабатного сжатия по формуле (3):

.

Задача 30. В цилиндрическом сосуде высотой и площадью основания под невесомым поршнем площадью находится газ при нормальных условиях. Когда на поршень положили груз массой , поршень опустился на Считая сжатие газа адиабатным, найдите показатель адиабаты .

Дано Решение

; ; ; ; ;

Рис. 29

Запишем уравнение адиабатного процесса, связывающее параметры газа в начале и в конце сжатия:

. (1)

График адиабаты приведен в решении предыдущей задачи (см. рис. 28). Представим уравнение (1) в виде, удобном для расчета величины :

.

Логарифмируя это равенство, получаем следующее выражение:

(2)

Для определения давления запишем условие равновесия поршня в конце адиабатного сжатия газа (рис. 29):

, (3)

где – сила давления внешнего газа на поршень (давление снаружи осталось таким же, каким было до помещения груза на поршень); – сила давления газа, находящегося в сосуде; – сила тяжести груза, помещенного на поршень.

Запишем проекцию уравнения (3) на ось y (см. рис. 29), подставим значения сил и выразим давление :

;

Разделив последнее равенство на , получим отношение давлений в виде:

(4)

Определим объемы газа в состояниях 1 и 2:

Запишем величину отношения объемов газа

(5)

Подставим в формулу (2) значения отношений давлений и объемов газа в состояниях 1 и 2, используя выражения (4) и (5), и получим расчетную формулу величины :

.

Вычислим показатель адиабаты газа:

.

Полученное значение показателя адиабаты газа, находящегося в сосуде, равно величине Следовательно, число степеней свободы молекулы газа и адиабатный процесс происходил с двухатомным газом.

Задача 31. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя , температура холодильника Определите термический КПД цикла η, работу газа при изотермическом расширении и работу , которую совершает газ за один цикл, если при изотермическом сжатии совершена работа

Дано Решение

; ; .

1) 2)

Рис. 30

1) Термический коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы газа, совершающего работу, и определяется только температурами нагревателя ( и холодильника (:

(1)

Вычислим величину КПД: , или

2) С другой стороны, термический КПД любой тепловой машины, работающей циклически:

, (2)

где – количество теплоты, подведенной за цикл к газу от нагревателя, в данной задаче – при изотермическом расширении 1–2 (рис. 30); – количество теплоты, отданной газом холодильнику при изотермическом сжатии 3–4.

Соотношение работы газа и количества теплоты в этих процессах соответствует первому закону термодинамики:

, (3)

где – приращение внутренней энергии газа: Так как в изотермических процессах , то приращение температуры , следовательно, и . При этом уравнение (3) для изотермического процесса принимает следующий вид:

. (4)

Запишем данную формулу первого закона термодинамики для процессов изотермического расширения 1–2 и изотермического сжатия 3–4 соответственно

(5)

Подставим эти величины в формулу (2) для термического КПД:

; ; .

Вычислим работу газа при изотермическом расширении:

.

Для определения работы газа за весь цикл есть два способа:

а) с использованием формулы термического КПД:

; ;

б) путем суммирования работы на всех участках цикла:

. (6)

В этом равенстве величины работы сжатия отрицательные. Способ «б», несомненно, более длительный, так как требуется показать, что в адиабатных процессах . Это несложно, если учесть, что в адиабатном процессе , и первый закон термодинамики (3) имеет следующий вид:

;

.

Сравнивая полученные выражения для работы, видим, что Учтем это равенство в формуле (6) и заменим :

Задача 32. Определите приращение энтропии при нагреве льда массой от температуры , при плавлении льда, при нагреве полученной воды и превращении ее в пар при .

Дано Решение

; ; ; ; .

Приращение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется общей формулой:

, (1)

где бесконечно малое количество теплоты, переданной веществу при температуре T в обратимом процессе.

Величину можно представить двумя формулами: а) при нагреве (охлаждении) тела на бесконечно малое приращение температуры

, (2)

где c – удельная теплоемкость вещества; m – его масса;

б) при фазовом превращении, протекающем при постоянной температуре:

, (3)

где удельная теплота фазового перехода.

В зависимости от того, как рассчитывается величина в подинтегральном выражении в формуле (1), данный интеграл находится как сумма четырех слагаемых:

. (4)

Здесь увеличение энтропии при нагреве льда до температуры плавления; – приращение энтропии при плавлении льда; – увеличение энтропии при нагреве воды; – увеличение энтропии при превращении воды в пар.

Рассчитаем величины этих слагаемых приращения энтропии.

1) Нагрев льда:

по формуле (2): ,

где – удельная теплоемкость льда.

Вычисляем:

2) Плавление льда происходит при постоянной температуре, равной , которую выносим за знак интеграла:

; по формуле (3): ; ,

где – удельная теплота плавления льда.

Вычисляем:

3) Нагрев воды:

, где

Расчет, аналогичный таковому для , дает формулу

,

где – удельная теплоемкость воды.

Молярная теплоемкость воды , вычислим ее удельную теплоемкость

Вычисляем приращение энтропии

.

4) Превращение воды в пар, по условию задачи, происходит при температуре кипения: при этом постоянна, поэтому расчет аналогичен таковому для . Результат расчета:

.

Здесь – удельная теплота парообразования воды.

Вычисляем приращение энтропии:

.

Согласно выражению (4), суммируем приращения энтропии вещества в четырех последовательных процессах:

.

Сравнивая слагаемые в последнем выражении, отметим, что энтропия вещества существенно возрастает при фазовом переходе из кристаллического в жидкое состояние, но еще более она возрастает при превращении жидкости в пар.

Задача 33. Определитеизменение энтропии смеси, состоящей из гелия массой и азота массой , при переходе от объема и давления к объему и давлению .

Дано Решение

He: ; ; ; ; ; ; ; .

Приращение энтропии при переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 определяется формулой

, (1)

где – бесконечно малое количество теплоты, переданной газу в обратимом процессе при температуре . Величину для газа обычно выражают через молярную теплоемкость и бесконечно малое приращение температуры :

, (2)

где – число молей вещества.

Молярные теплоемкости идеального газа известны для двух процессов передачи теплоты: изобарного и изохорного – соответственно и . Поэтому осуществим переход смеси газов из состояния 1 в состояние 2 изобарным расширением а-б и последующим изохорным охлаждением б-в (рис. 31). При этом определяемое приращение энтропии

. (3)