Квантование аналогового сигнала по времени

На рис. 13.3 приведены основные требования к устройствам дискретизации аналогового сигнала. Дискретизация непрерывных аналоговых данных должна осуществляться с интервалом времени t_д = 1/f_д. При разработке цифрового устройства этот период должен тщательно выбираться для реализации точного представления первоначального аналогового сигнала в цифровой форме.

 

КРИТЕРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО КОТЕЛЬНИКОВУ

Частота дискретизации f_д сигнала с шириной полосы f_в должна удовлетворять условию f_д > 2f_в

Эффект наложения спектров возникает, когда f_д < 2f_в

Эффект наложения спектров широко используются в таких задачах, как прямое преобразование ПЧ в цифровую форму

Рис.13.3. Критерии неискажающей дискретизации аналогового сигнала

Очевидно, что чем больше будет взято отсчетов аналогового сигнала на интервале времени (больше выбранная частота дискретизации), тем более точным будет представление этого сигнала в цифровом виде. При уменьшении количества отсчетов в единицу времени (уменьшении частоты дискретизации) можно достигнуть предела, после которого преобразованный в цифровую форму сигнал будет искажен до такой степени, что будет невозможно восстановить его в первоначальном виде.

Иными словами, в соответствии с теоремой Котельникова требуется, чтобы частота дискретизации аналогового сигнала была, по крайней мере, вдвое больше полосы полезного сигнала, иначе информация об исходном виде аналогового сигнала будет потеряна. Если выбрать частоту дискретизации меньше (а в большинстве практических устройства и равной) удвоенной полосы частот преобразуемого аналогового сигнала, то возникает эффект, известный как наложение (заворот) спектра (aliasing).

Обычно анализ аналоговых цепей производится при помощи синусоидального сигнала. На нем проще понять физический смысл явлений, возникающих в исследуемом блоке. Так как дискретизатор является аналоговым устройством, то воспользуемся этим методом и мы. Для понимания физического смысла наложения спектра, рассмотрим эффекты, возникающие при дискретизации синусоидального сигнала. Эти эффекты мы проанализируем, как во временном, так и в частотном представлении исследуемого сигнала.

В качестве примера, иллюстрирующего эффект наложения спектра (заворота спектра), на рис. 13.4 приведена временная диаграмма синусоидального сигнала, дискретизированного по времени идеальным дискретизатором.

Рис.3.4. Влияние стробоскопического эффекта во временной области, приводящее к наложению спектров входного сигнала

В приведенном на этом рисунке примере, частота дискретизации f_д выбрана лишь ненамного выше частоты входного аналогового сигнала f_a. То есть мы нарушили теорему Котельникова! Обратите внимание, что в результате дискретизации, мы получили отсчеты сигнала, частота которого равна разности частот дискретизации и исходного сигнала f_д – f_a. То есть мы наблюдаем низкочастотный образ реального сигнала. Этот эффект известен в технике как стробоскопический эффект.

На рис. 13.5 приведено частотное представление той же самой ситуации. На этом рисунке четко видно, что на выходе идеального дискретизатора появляется не только низкочастотная составляющая с частотой f_д – f_a, но и f_д + f_a, 2× f_д – f_a, 2× f_д + f_a и т.д.

Теперь рассмотрим дискретизацию одиночного синусоидального сигнала с частотой f_a идеальным дискретизатором с частотой следования стробирующих импульсов f_д. Пусть, f_д > 2f_a. В частотном спектре на выходе дискретизатора появляются гармоники частоты дискретизации f_д, промодулированные исходным сигналом, в результате чего появляются образы входного сигнала на частотах, равных | ±Kf_д ± f_a |, где K = 1, 2, 3, 4,... Эта ситуация отчетливо видна на спектре сигнала полученного с выхода идеального дискретизатора, приведенном на рис. 13.5.

Рис.13.5. Спектр дискретизированного аналогового сигнала

Полоса сигнала по Котельникову определяется как спектр от постоянного тока до f_д /2. Частотный спектр на входе дискретизатора разделяется на бесконечное число зон. Полоса частот каждой зоны составляет 0,5 f_д. На практике идеальный дискретизатор перемещает все высокочастотные образы сигнала в полосу частот от 0 до f_д /2 и накладывает их на сигнал, присутствующий в первой зоне Котельникова.

Теперь рассмотрим случай, когда частота полезного сигнала выходит за пределы первой зоны Котельникова. При частоте сигнала, немного ниже частоты дискретизации, временная диаграмма приведена на рис. 13.4. Этот случай тоже можно проиллюстрировать рис. 13.5, однако на этот раз в качестве входного сигнала следует рассматривать сигнал во второй зоне Котельникова, а компонента сигнала в первой зоне возникает после процесса дискретизации.

Обратите внимание, что, несмотря на то, что сигнал находится вне первой зоны Найквиста, его продукт преобразования f_д – f_a попадает внутрь этой зоны. Возвращаясь к рис. 13.5, становится ясно, что, если мешающий сигнал появляется на любом из образов входной частоты f_a, то он тут же переносится на частоту f_a, приводя, таким образом, к появлению мешающего частотного компонента в первой зоне Котельникова.

Такой процесс подобен работе аналогового смесителя. Это означает, что перед устройством дискретизации сигнала обязательно требуется аналоговая фильтрация, подавляющая компоненты входного сигнала, частоты которых находятся вне полосы первой зоны Котельникова и после дискретизации попадают в ее пределы. Требования к амплитудно-частотной характеристике аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того, как близко частота внеполосного сигнала отстоит от f_д /2, а также величиной требуемого подавления. Эти вопросы мы рассмотрим позднее в главе, посвященной фильтрам, предназначенным для устранения эффекта наложения спектров.

Погрешности дискретизатора

До сих пор предполагалось, что квантование по времени производится дельта импульсами (импульсами с нулевой длительностью). Однако это математическая абстракция. Обычно сигнал на входе аналого-цифрового устройства запоминается на емкости на время, достаточное для преобразования этого сигнала в цифровое значение. Для реализации подобного устройства можно воспользоваться схемой устройства, приведенной на рис. 13.6.

Рис.13.6. Принципиальная схема устройства выборки и хранения

Такая схема обычно называется устройством выборки и хранения (УВХ). В приведенной на рис. 13.6 схеме, малое время заряда запоминающей емкости обеспечивается низким выходным сопротивлением буферного усилителя DA1. Большое время хранения, необходимое для обеспечения заданной точности работы аналого-цифрового преобразователя, обеспечивается большим входным сопротивлением буферного усилителя DA2.

При выполнении перечисленных выше условий, отношение времени хранения к времени заряда запоминающей емкости C1 будет определяться в основном отношением сопротивлений закрытого и открытого ключа K1.

Погрешность хранения

Теперь давайте обратим внимание на то, что конденсатор, в отличие от цифровых устройств, не может хранить напряжение на своих обкладках без потерь. К моменту окончания аналого-цифрового преобразования, напряжение на нем уменьшается (конденсатор разряжается). Для того чтобы преобразование аналогового сигнала в цифровую форму произошло без ошибок, необходимо, чтобы это уменьшение напряжения на обкладках конденсатора не превышало значения напряжения, соответствующего половине младшего разряда аналого-цифрового преобразователя.

Значение ошибки хранения УВХ определяется постоянной времени RC цепочки. При этом ее сопротивление разряда R будет определяться параллельным включением входного сопротивления буферного усилителя DA2, сопротивления закрытого ключа и эквивалентного сопротивления паразитных токов утечки самого конденсатора и печатной платы.

Так как это сопротивление обычно стараются сделать как можно больше, то постоянная времени разряда конденсатора будет зависеть в основном от выбранного значения запоминающей емкости. К какому же значению постоянной времени разряда запоминающего конденсатора C1 следует стремиться?

Это зависит от характеристик аналого-цифрового преобразователя. Чем больше его разрядность, тем меньше должна быть ошибка устройства выборки и хранения. Обычно эту ошибку стараются свести к значению половины младшего разряда последующего аналого-цифрового преобразователя.

Ошибку, возникающую за счет разряда запоминающей емкости устройства выборки и хранения можно определить по следующей формуле:

(13.1)

Тогда для трехразрядного АЦП ошибка не должна превышать значения D = 0.5´(1/2³) = 0.0625. Это значение может быть достигнуто при значении времени хранения t_хр = (1/16)´t. То есть значение постоянной времени t = RC должно быть в шестнадцать раз больше времени преобразования аналого-цифрового преобразователя t_АЦП!

Для восьмиразрядного АЦП требования к постоянной времени разряда запоминающей RC цепочки еще жестче. Здесь ошибка хранения не должна превышать значения D = 0.5´(1/2⁸) = 0.00195. Для восьмиразрядного АЦП значение постоянной времени t = R·C1 должно быть по крайней мере в 512 раз больше времени его преобразования t_АЦП.

Погрешность выборки

Итак, для уменьшения ошибки хранения, требуется увеличивать значение емкости запоминающего конденсатора. Однако увеличение емкости конденсатора приводит к увеличению времени его заряда, а значит к увеличению ошибки дискретизации!

Ключ устройства выборки и хранения должен открываться на время, достаточное для заряда запоминающего конденсатора входным сигналом. Этот процесс следует учитывать, даже если конденсатор на входе аналого-цифрового преобразователя — паразитный (в случае использования параллельных АЦП).

Для анализа погрешностей выборки аналогового сигнала воспользуемся принципиальной схемой устройства выборки-хранения, приведенной на рис. 13.6.

В цепи протекания зарядного тока запоминающего конденсатора присутствуют, как минимум, два элемента — выходное сопротивление буферного усилителя плюс сопротивление открытого ключа K1, и емкость самого запоминающего конденсатора C1. Такая цепь обычно называется интегрирующей. Переходная характеристика подобной цепи приведена на рис. 13.7.

Рис.13.7. Нарастание напряжения на выходе дискретизатора при открывании его ключа

Именно эта характеристика определяет время открывания ключа устройства выборки-хранения, достаточное для установления напряжения на входе АЦП с заданной точностью. При этом должна быть обеспечена погрешность, меньшая половины младшего разряда аналого-цифрового преобразователя. Выбранная точность установления напряжения на конденсаторе должна быть достаточна для того, чтобы амплитудные искажения дискретизатора были меньше погрешности аналого-цифрового преобразователя (квантователя по уровню). Такой режим работы устройства выборки и хранения называется режимом слежения.

Известно, что частотная характеристика линейного устройства может быть получена при помощи математической операции преобразования Фурье, выполненного над его импульсной характеристикой.

Полученная в результате выполнения этой операции над импульсной характеристикой устройства выборки и хранения амплитудно-частотная характеристика приведена на рис. 13.8.

Рис.13.8. Амплитудно-частотная характеристика дискретизатора

Получается, что на выходе рассмотренного устройства частотные образы дискретизированного сигнала уже нельзя считать распространяющимися до бесконечности. Более того! Устройство выборки и хранения начинает оказывать влияние на частотные свойства сигнала и в полосе частот первой зоны Котельникова.

Теперь, для того, чтобы определить влияние высокочастотного образа сигнала, необходимо умножить его амплитуду на амплитудно-частотную характеристику устройства выборки и хранения. При неправильном выборе параметров устройства выборки-хранения, это устройство может искажать сигнал и в полосе интересующих нас частот. Именно поэтому в современных микросхемах устройство выборки и хранения входит непосредственно в состав аналого-цифрового преобразователя. Характеристики аналого-цифрового преобразователя приводятся на все устройство в целом.

На высоких частотах на импульсную (а следовательно и на амплитудно-частотную) характеристику устройства выборки и хранения начинают оказывать влияние элементы конструкции устройства цифровой обработки сигнала. В качестве примера таких элементов можно назвать индуктивность и емкость соединительных проводников, индуктивность заземляющих поверхностей печатной платы, влияние входных и выходных емкостей усилителей.

В результате влияния всех перечисленных элементов, переходная характеристика устройства выборки и хранения становится более сложной по сравнению с рассмотренной ранее (рис. 13.8). В соответствии с ней изменится и частотная характеристика устройства дискретизации аналогового сигнала. Пример импульсного отклика подобной цепи на открывание ключа устройства выборки и хранения приведен на рис. 13.9.

Рис.13.9. Нарастание напряжения на выходе устройства выборки и хранения при открывании его ключа

Соответствующая этому импульсному отклику амплитудно-частотная характеристика приведена на рис. 13.10.

Рис.13.10. Амплитудно-частотная характеристика дискретизатора

Следует заметить, что в приведенном примере паразитные элементы образовали фильтр низкой частоты, то есть они помогают работе аналого-цифрового преобразователя.

Обычно это не так. Паразитные элементы вызывают резкие провалы амплитудно-частотной характеристики в рабочей полосе частот, могут вызвать резкое увеличение группового времени задержки на отдельных частотах рабочей полосы частот или искажение фазовых характеристик исходного сигнала.

Для того чтобы этого не происходило, производители микросхем обычно вместе с DATASHEET на микросхему аналого-цифрового преобразователя приводят пример разводки печатной платы. При этом паразитные элементы платы часто включаются в состав аналогового фильтра.