Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Напомним, что

алгеброй - называется множество объектов с заданной на нем совокупностью операции, замкнутых относительно этого множества, называемого основным множеством.

Основное множество в реляционной алгебре - это всё возможное множество отношений.

Всего Э. Ф. Коддом было предложено 8 операций для реляционной алгебры. В общем это множество избыточное, так как одни операции могут быть представлены через другие, однако множество операций выбрано из соображений максимального удобства при реализации произвольных запросов к БД. Все множество операций можно разделить на две группы: теоретико-множественные операции и специальные операции. В первую группу входят 4 операции. Три первые теоретико-множественные операции являются бинарными, то есть в них участвуют два отношения и они требуют эквивалентных схем исходных отношений.

Объединение двух отношений - это отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R₁ = { r₁ }, R₂ = { r₂ }. где r₁ и r₂ — соответственно кортежи отношений R₁и R₂, то объединение

R₁R₂ = { г | г R₁r R₂ }. Здесь r — кортеж нового отношения, — операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен на рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R₁ и R₂, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R₃ содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

R1
Шифр детали	Название детали
	Гаика Ml
	Гайка М2
	Гаика M3
	Болт Ml
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ

 

R2
Шифр детали	Название детали
	Гайка М1
	Гайка М3
	Гайка М4
	Гайка М2
	Гайка М3

 

R3
Шифр детали	Название детали
	Гайка Ml
	Гайка М2
	Гайка МЗ
	Болт Ml
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ
	Гайка М4
	Болт М2

Пересечение отношений в реляционной алгебре - это отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R₁ и R₂:

 

R₃ = R₁ R₂={ г | r R₁ ^ г R₂ }, здесь ^ - операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R₄ содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4
Шифр детали	Название детали
	Гайка Ml
	Гайка МЗ
	Болт МЗ

Разность отношений в реляционной алгебре - это отношение R₁ и R₂, содержащее множество кортежей, принадлежащих R₁ и не принадлежащих R₂:

 

R₅ = RI \ R₂ = { r | r R₁ ^ r R₂ }

Отношение R₅ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R_G содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R₆ = R₂ \ R₁ = { r | r R₂ ^ rR₁ }

R5
Шифр детали	Название детали
	Гайка М2
	Болт Ml
	Шайба Ml
	Шайба МЗ

 

R6
Шифр детали	Название детали
	Гайка М4
	Болт М2

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R₅ и R₆.

В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R₁ R₂ и R₃. Все они имеют эквивалентные схемы.

• R₁= (ФИО, Паспорт, Школа);
• R₂= (ФИО, Паспорт, Школа);
• R₃= (ФИО, Паспорт, Школа).

Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R₁содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R₂содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R₃ содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

Ответим на следующие вопросы:

1. Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R₁ R₂ \ R₃
2. Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R₁ \ R₂ R₃)(R₂ \ R₁ R₃)
3. Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R₁ и R₂, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R₃, потому что они поступили. R = R₁ R₂ R₃

1. Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R₁и не присутствуют в R₂, и те, кто присутствуют в R₂ и не присутствуют в R₁. И разумеется, никто из них не присутствует в R₃. R = (R₁ \ R₂) (R₂ \ R₁) \ R₃

В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R₃.

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R₁ ® R₂, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c₁, с₂,..., с_n> и q = <q₁, q₂,. .., q_m> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с, q).

(с, q) = <с₁с₂,..., с_n, q₁, q₂,.... q_m>

Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

Расширенным декартовым произведением отношения R, степени n со схемой

S_R1=(А₁,А₂...,А_n) и отношения R₂ степени m со схемой

S_R2=(В₁,В₂,..., В_m) называется отношение R₃ степени n+m со схемой

S_R3 = (А₁, А₂,..., А_n, В₁, В₂,..., В_m),

содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа г отношения R] с каждым кортежем q отношения R₂.

То есть если R₁ = { r }, R₂ = { q }

R₁R₂ = {(r, q) | r R₁ ^ q R₂}

Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.

R7
Шифр детали	Название детали
	Гайка M1
	Гайка М2
	Гайка МЗ
	Болт М1
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ
	Гайка М4
000ll004	Болт М2
	Болт М5
	Болт М6
	Шайба М2

 

R8

Цех

Цех 1

Цех 2

Цех 3

Тогда отношение R₉, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

R9
Шифр детали	Название детали	Цех
	Гайка Ml	Цех 1
	Гайка М2	Цех 1
	Гайка МЗ	Цех 1
	Болт Ml	Цех 1
	Болт МЗ	Цех 1
	Шайба Ml	Цех 1
	Шайба МЗ	Цех 1
	Гайка М4	Цех 1
	Болт М2	Цех 1
	Болт М5	Цех 1
	Болт Мб	Цех 1
	Шайба М2	Цех 1
	Гайка Ml	Цех 2
	Ганка М2	Цех 2

 

R10
Шифр	Название детали	Цех
	Гайка Ml	Цех 1
(МО И 075 000 11 076	Гайка М2 Гайка МЗ	Цех 1 Цех 1
000 11 003	! Болт Ml	Цех 1
0011 0006	Болт МЗ	Цех 1
	Шайба Ml	Цех 1
000 11060	Шайба МЗ	Цех 1
000 11 004	Болт М2	Цех 1
	Гайка М4	Цех 1
	Болт МЗ	Цех2
	Шайба Ml	Цех 2
	Шайба МЗ	Цех 2
	Гайка М4	Цех 2
0001 0778	Болт М2	Цех 2

 

	Гайка МЗ	Цех 2
00011U03	Болт Ml	Цех 2
	Болт МЗ	Цех 2
	Шайба Ml	Цех 2
	Шайба МЗ	Цех 2
	Гайка М4	Цех 2
	Болт М'2	Цех 2
	Болт М5	Цех 2
	Болт Мб	Цех 2
	Шайба М2	Цех 2
	Гайка Ml	ЦсхЗ
	Гайка М2	ЦехЗ
	Гайка МЗ	Цех 3
	Болт Ml	ЦехЗ
	Болт МЗ	ЦехЗ
	Шайба Ml	Цех 3
	Шайба МЗ	ЦехЗ
	Гайка М4	ЦехЗ
	Болт М2	Цех 3
	Болт М5	ЦехЗ
	Болт Мб	ЦехЗ
	Шайба М2	ЦехЗ

 

	Болт Мб	Цех 2
	Шайба М2	Цех 2
	Гайка Ml	ЦeхЗ
	Гайка М2	ЦехЗ
	Гайка МЗ	ЦехЗ
	Болт Ml	ЦехЗ
	Болт МЗ	Цех 3
	Шайба Ml	Цех 3
	Шайба МЗ	ЦехЗ
	Гайка М4	Цeх3
	Болт М5	Цех3
	Болт Мб	Цех3
	Болт М5	Цех 1
	Болт Мб	Цех 1
	Шайба М2	Цех1

В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом «все». Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R₉ отношение R₁₀, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

Отношение R₁₁, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

R₁₁⁼ R₉ \ R₁₀

R11
Шифр детали	Название детали	Цех
	Гайка Ml	Цех 2
	Гайка М2	Цех 2
	Гайка МЗ	Цех 2
	Болт М2	ЦехЗ
	Шайба М2	ЦехЗ
	Болт Ml	Цех 2
	Болт М5	ЦехЗ

Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию можно заменить сочетанием операций объединения и пересечения.

(R₁R₂) \ (R₁ \ R₂) \ (R₂ \ R₁)

Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.