Системы счисления, используемые в компьютере

В компьютере используют двоичную систему счисления для Представления информации, потому что она имеет ряд преиму­ществ перед другими системами счисления:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (а не с десятью, как в десятичной си­стеме счисления). Например: электромагнитное реле (замкнуто/ разомкнуто), которое широко использовалось в конструкциях пер­вых ЭВМ; участок поверхности магнитного носителя информа­ции (намагничен/размагничен); участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает); триггер, который может устойчиво находиться в одном из двух состояний;

• широко используется в оперативной памяти компьютера;

• представление информации посредством только двух состо­яний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выпол­нения логических преобразований информации (см. гл. 3);

• двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы счисления — быстрый рост числа

разрядов, необходимых для записи чисел.

Человеку очень трудно воспринимать многоразрядные числа, т.е. числа, записанные в двоичном коде, а для компьютера раз­рядность числа не имеет большого значения, так как современ­ные компьютеры обрабатывают за один такт работы процессора более 64 двоичных разрядов.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина, однако программисты часто ис­пользуют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисле­ния на этапах отладки программ и просмотра содержимого фай­лов в режиме машинных кодов.

Числа в этих системах счисления читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в дво­ичной системе счисления (числа 8 и 16 — соответственно третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоич­ную систему счисления очень прост; достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) Для восьмеричной системы счисления или тетрадой (четверкой Цифр) для шестнадцатеричной системы счисления.

Примеры.

537,1₈ = 101 011 111, 001₂; 1А3, F_l6 = 1 10100011, 1111₂.

5 3 7 1 1 А 3 F

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады или тетрады и каждую такую груп­пу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатери-чной цифрой.

Примеры.

10101001, 10111₂ = 10 101 001, 101 111₂ = 251,56₈; 2 5 1 5 6

10101001, 10111₂ = Ю10 1001, 1011, 1000₂=Л9, Я8₁₆.
А 9 В 8

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих опе­раций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только нужно пользоваться особыми для каждой системы табли­цами сложения и умножения.

Сложение. При сложении цифры суммируются по разрядам; если при этом возникает избыток, то он переносится влево в старший разряд.

Сложение в двоичной системе счисления

 

+
I

Примеры.

Сложение в десятичной системе счисления: 15₁₀+ 6₁₀.

Сложение в двоичной системе счисления: 1111₂+ 110_:

1 11 1111

⁺ 1 10 10

10 1

Рассмотрим еще несколько примеров сложения в двоичной системе счисления:

/ 1111 11111 1 111,1

100 1 110 1 11111 10 100 11,111

⁺ 10 Ю ⁺ 10 1 1 ⁺_____ 1 ⁺ 1 100 1,1 10

10011 11000 100000 1101101,101

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее число и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания то­чка означает заем в старшем разряде, который переходит в млад­ший разряд как д единиц.

Примеры.

Вычитание в десятичной системе счисления: 201,25₁₀ -59,75₁₀.

20 1,25

59,75

14 1,50

Вычитание в двоичной системе счисления: 11001001,01, -- 111011,11₂.

1 100 100 1,0 1 00111011,11 1000 110 1,10

Рассмотрим еще несколько примеров вычитания в десятичной системе счисления:

110 110 10 1 10 11100 1,1

Ю10 111111000 110 1,1

00 10 10 110 00 10 1 100,0

Умножение. Выполняя умножение многозначных чисел в раз­личных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при" этом Результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой систе­ме таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе счисления

 

X

Примеры.

Рассмотрим несколько примеров умножения в двоичной системе счисления:

 

100 1, 1	1 1 0 0,0 1	1 0 0 0 0 0, 1
* 10,1		^х 10,0 1
100 11	110001
^+ 1 0 0 11	^+ 11000 1	^+ 1 0 0 0 0 0 1
101 1 1, 1 1	1 0 0 1 0 0, 1 1	100 1001,00 1

Деление. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десяnbой системе счисления. В двоичной системе счисления деление выполняется особенно просто: ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Примеры. Разделить 5865 на 115.

Деление в десятичной системе счисления: 5865₁₀: 115_ш.

 

5865 115
	5 1
1 15 1 15

Деление (5865: 115) ₁₀ в двоичной системе счисления: 10И01И01001₂:1110011₂.

101101110100 1 | 1 1 1 0 0 1 1
1110011 ____ |110011

- 1000 1000 1110011

10 10 1100

______ 1110011

11100-11
_______ 1110011

Проверка: 110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2° = 51.

Рассмотрим еще два примера деления в двоичной системе:числения:

75:15 = 5 84:4 = 21

10 0 10 1 1 | 1 1 1 1 10 10 10 O il 0 0

1111 [ ТО 1 1001 10 10 1

1111 _ 10 1

1111100

0 _ 100

100