Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула взаимосвязи производной по направлению и градиентаСтр 1 из 2Следующая ⇒
. Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть , что также записывается в параметрическом виде: Это функция . Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число. Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f. Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец. Но ведь , аналогично и . Тогда Но это и есть скалярное произведение градиента и вектора .
Отсюда виден смысл градиента. Геометрический смысл. Градиент это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается. Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это = .
Лекция № 13. 02. 12. 2016 Теорема. Пусть кривая неявно задана уравнением , точка кривой. Тогда градиент ортогонален этой кривой. Доказательство. Кривая также может быть задана и параметрически. Тогда получается функция , то есть F в итоге есть функция от t, она получается тождественно равной 0. Тогда и её производная по t тоже тождественный 0. . Запишем по формуле полной производной: . Но ведь это и есть скалярное произведение векторов и . Геометрический смысл: сечение поверхности, наибольший рост ортогонален сечению. Пример: Если на склоне горы двигаться к вершине, то на карте движение будет видно как ортогональное линии уровня. Теорема. Пусть поверхность неявно задана уравнением , точка поверхности. Тогда градиент ортогонален этой поверхности.
Доказательство. Рассмотрим произвольную кривую, которая целиком лежит на поверхности. Её можно задать параметрическими уравнениями: . Вектор, лежащий на касательной к этой кривой в точке , это - вектор, который в физике называется вектором скорости. Заметим, что все такие касательные векторы для кривых, лежащих на данной поверхности и проходящих через , принадлежат касательной плоскости. Так как , а такие, что точка принадлежит поверхности при любом t, то , то есть F, как функция от t, получается тождественно равной 0. Тогда и её производная по t тоже тождественный 0. . Запишем по формуле полной производной: но ведь это и есть скалярное произведение векторов и . Получается, что , то есть градиент ортогонален к касательной для любой кривой, проходящей через точку . В итоге, доказали, что градиент ортогонален касательной плоскости, что и означает, что он ортогонален поверхности в данной точке.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 247; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.215.15.122 (0.018 с.) |