Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента

.

Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть

, что также записывается в параметрическом виде:

Это функция .

Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число.

Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f.

Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец.

Но ведь , аналогично и . Тогда

Но это и есть скалярное произведение градиента и вектора .

 

Отсюда виден смысл градиента.

Геометрический смысл. Градиент это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается.

Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это

= .

 

Лекция № 13. 02. 12. 2016

Теорема. Пусть кривая неявно задана уравнением , точка кривой. Тогда градиент ортогонален этой кривой.

Доказательство. Кривая также может быть задана и параметрически. Тогда получается функция , то есть F в итоге есть функция от t, она получается тождественно равной 0. Тогда и её производная по t тоже тождественный 0.

. Запишем по формуле полной производной:

. Но ведь это и есть скалярное произведение векторов и .

Геометрический смысл: сечение поверхности, наибольший рост ортогонален сечению. Пример: Если на склоне горы двигаться к вершине, то на карте движение будет видно как ортогональное линии уровня.

Теорема. Пусть поверхность неявно задана уравнением , точка поверхности. Тогда градиент ортогонален этой поверхности.

Доказательство. Рассмотрим произвольную кривую, которая целиком лежит на поверхности. Её можно задать параметрическими уравнениями: .

Вектор, лежащий на касательной к этой кривой в точке , это - вектор, который в физике называется вектором скорости. Заметим, что все такие касательные векторы для кривых, лежащих на данной поверхности и проходящих через , принадлежат касательной плоскости.

Так как , а такие, что точка принадлежит поверхности при любом t, то

, то есть F, как функция от t, получается тождественно равной 0.

Тогда и её производная по t тоже тождественный 0.

. Запишем по формуле полной производной:

но ведь это и есть скалярное произведение векторов и .

Получается, что , то есть градиент ортогонален к касательной для любой кривой, проходящей через точку . В итоге, доказали, что градиент ортогонален касательной плоскости, что и означает, что он ортогонален поверхности в данной точке.